Chapter 03

对数函数

对数表示「底乘几次能得到这个数」，是指数的逆运算，在深度学习的损失与概率式中与指数一起使用。

home.mathDiagramDescription

对数是指数的逆。 $y = \log_2 x$ 表示 $2^y = x$ 。下图为 $y = \log_2 x$ 与其反函数 $y = 2^x$ 的图象。

例： $\log_2 1 = 0$ ， $\log_2 2 = 1$ ， $\log_2 4 = 2$ ， $\log_2 8 = 3$ （当 $2^y = x$ 时， $y$ 即为 $\log_2 x$ ）

紫： $y=\log_2 x$ ，青绿： $y=2^x$

什么是对数函数

对数是指数的逆概念。当

a^x = b

时，把「

a

乘几次得到

b

」写成

\log_a b = x

。其中

a

是底，

b

是真数，

x

是对数值（指数）。

例：

2^3 = 8

所以

\log_2 8 = 3

。

\log_{10} 100 = 2

（

10^2 = 100

）。底为

e

时写成自然对数

\ln

，在深度学习与统计中常用。

对数和与商：

\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c

（积在对数下变和），

\log_a(b/c) = \log_a b - \log_a c

（商变差）。AI 中概率相乘时常用这种形式。

在AI中损失函数（如交叉熵）和概率式里会用到

\log

，把乘法变成加法，便于计算与求导。为什么用对数？ 概率连乘会变得很小，用

\log

把积变成和，计算更稳定，梯度下降也更好处理。

深度学习的损失函数常用概率的

\log

来度量「错多少」。掌握对数能理解「为什么用

\log

」。

概率连乘会变得很小。用

\log

把积变成和，计算更稳定，梯度下降也更好处理。

在AI里对数用来把概率或分数放到对数尺度上。交叉熵损失用正确类别的对数概率的负值，使预测越对损失越接近 0。对数和

\log(p_1 \cdot p_2) = \log p_1 + \log p_2

在损失与概率式中常出现。

仅当真数是底的整数次幂时，对数值才是整数。

对数中常用运算（在 AI 损失与概率式中常用）：

例	计算
对数和	$\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$
对数差	$\log_2 8 - \log_2 2 = 3 - 1 = 2$

在下面题目中求对数值、真数、对数和或对数差。