Chapter 04

极限与 ε-δ 论述 (ε-δ)

极限描述「无限接近某个值时」会发生什么。ε-δ 是严格定义这一概念的方式，是微分与深度学习的基础。

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在下面图中理解极限与 ε-δ。

小结：先定误差 ε（绿），就有一个距离 δ（蓝）——只要x 在蓝色带里，f(x) 就一定在绿色带里。这就是 ε-δ 的意思。

看图顺序

橙点 = 曲线上的 (x, f(x)) 趋近 (2, 4)
绿色带 = L±ε（f(x) 的允许误差）
蓝色带 = a±δ（x 在这里则 f(x) 在绿色带内）

什么是极限？

极限的意思是：当

x

无限接近某个数

a

时，

f(x)

无限接近某个数

L

。记作

\lim_{x \to a} f(x) = L

。不要求

x

真的等于

a

，只要在

a

附近时

f(x)

与

L

足够接近即可。

通俗讲：只要把

x

取得足够接近

a

，就能让

f(x)

要多接近

L

就多接近。例如：

x

趋于

0

时，

\frac{\sin x}{x}

趋于

1

（

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

）。

ε-δ 论述把「接近」说成 精确语言：「无论把误差（

\varepsilon

）定得多小，总可以找到一个距离（

\delta

），使得只要

x

在

a

的

\delta

以内，

f(x)

与

L

的差就小于该误差。」初看会有点难，只要理解为「再靠近一点，结果就能要多准有多准」即可。

微分衡量某一点的 瞬时变化率，也就是「动一点点时，值变化多少」的极限。掌握极限有助于理解微分和斜率。

深度学习里用 梯度下降一点点改参数来减小损失；「参数改一点，损失变多少」就是 微分（梯度），其背后就是极限。对极限有个大致印象，就更容易理解「为什么要用微分」。

在 AI 里，极限 藏在公式里。学习率取小，一步的更新就接近极限下的更新；反向传播求的梯度也是「变化量÷移动距离」在移动距离趋于 0 时的极限。不必背 ε-δ，只要感觉「我们在处理 非常小的变化」就够继续学后面的内容。

看极限时，先想 $x$ 往哪儿跑（如

x \to 0

、

x \to \infty

）以及 $f(x)$ 随之接近哪个数。画图可以看到在

a

附近

f(x)

会聚在

L

附近。

ε-δ 证明的套路是 先给定 $\varepsilon$ ，再 找对应的 $\delta$ 。实际中只要理解「足够近就能让误差任意小」，就足以继续学微分和连续性。

例题与解题步骤见下表。

问题	解答
例 1. 求 $\lim_{x \to 2} (x^2 + 1)$	解：代入 $x = 2$ 得 $2^2 + 1 = 5$ 。答案为 5。
例 2. 求 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$	解： $x$ 无限增大时 $\frac{1}{x}$ 趋于 0。答案为 0。
例 3. 求 $\lim_{x \to 3} (2x - 1)$	解：代入 $x = 3$ 得 $2 \times 3 - 1 = 5$ 。答案为 5。