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Chapter 09

积分

积分是微分的逆运算，用于求曲线下面积、累积量，并与概率、期望相关。

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矩形与曲线之间的空隙会随着分得更细而变小，取极限就得到精确面积（积分）。

定积分表示曲线下面积。先求原函数，再代入上、下限相减。

什么是积分

简言之积分是微分的逆运算——把求导“还原”回去。记号用 ∫\int，区间 [a,b][a,b] 上的定积分写成 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx。
与面积挂钩：曲线与 xx 轴、x=ax=a、x=bx=b 所围成的面积用定积分定义。函数为正时就是“曲线下面积”。
定积分的算法是：先把积分号里的式子还原成“求导之前的式子”，再代入上、下限相减。核心公式：当 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) 时，∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)。这里的 FF 叫做 ff 的原函数，理解成“还原回去的函数”就可以。
日常生活里也会用到。速度变化时总移动距离就是速度的积分。随时间累积的总量（物流、用电等）也是对区间积分得到的。
概率中，连续变量落在某区间的概率就是该区间上概率密度的积分，例如“气温在 20–25 度”“尺寸在公差内”等。
人工智能与深度学习中积分必不可少。使用连续概率分布的模型（图像生成、语音、预测）中区间概率和期望都由积分计算。VAE、归一化流、贝叶斯神经网络等处理分布的模型离不开积分，强化学习中累积奖励的期望也是积分。Ch10–Ch12 概率与分布会自然用到。
物理中，距离、功、电荷、流量等“累积量”常用积分。对加速度积分得速度，对速度积分得距离。
经济中，随时间变化的需求、成本在连续情形下也会用积分来汇总。
人工智能中这样使用：(1) 生成模型 — VAE、扩散模型等用积分计算连续分布的期望、对数似然。(2) 贝叶斯推断 — 后验的均值、概率都是积分。(3) 强化学习 — 策略的期望奖励是奖励函数的积分。(4) 连续输出 — 预测为区间时“落入该区间的概率”也是积分。学好定积分和原函数，Ch10 及之后的概率与 AI 会轻松很多。
定积分的计算顺序：① 确认上、下限 → ② 求“还原回去的函数” → ③ (上限代入值) − (下限代入值)。
“原函数”是什么？ — 就是把积分号里的式子还原成求导之前得到的那个函数。例如：2x2x 求导得 22，所以反过来，“22 积分后是什么？”→ 2x2x。也就是说22 的原函数是 2x2x。不必纠结术语，就当成“代入上、下限再相减时用的那个函数”即可。
第1步：确认上、下限 — 在 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx 中，aa 是下限，bb 是上限。若写的是 ∫13\int_1^3，则下限为 1，上限为 3。
第2步：求“还原回去的函数”（原函数） — 找一个求导后等于被积函数的函数。常用：xnx^n → xn+1/(n+1)x^{n+1}/(n+1)，常数 cc → cxcx，xx → x2/2x^2/2。多项相加就逐项还原再相加。
第3步：代入上、下限并相减 — 把上限 bb代入 F(x)F(x) 得 F(b)F(b)，下限 aa代入得 F(a)F(a)，算 F(b)−F(a)F(b)-F(a) 即为答案。
验算与注意 — 对求出的函数求导，看是否等于被积函数。相减顺序始终是 F(上限)−F(下限)F(\text{上限})-F(\text{下限})。
什么是「不定积分」？ — 没有上、下限，只写原函数 + C 的积分叫不定积分。例：∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2 + C。CC 为任意常数。若问「在 x=2x=2 处的值？」，只需把 22 代入 x2+Cx^2+C；本课程取 C=0C=0 计算。不定积分可理解为定积分里用的「原函数」加上 +C+C。
“求原函数在给定点处的值”这类题 — 题目已经给出原函数（如 ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2+C），并问“在 x=2x=2 处的值是多少？”时，只要把 2 代入该式即可。x2+Cx^2+C 代入 x=2x=2 得 4+C4+C；本课程中取 C=0C=0，所以答案是 22=42^2=4。取 C=0C=0 则 22=42^2=4 为答案。
例题与分步解答。（定积分为 ①·②·③；不定积分代入题为 ①·②。）
例1. ∫023 dx\int_0^2 3\,dx
① 下限 0，上限 2.
② 33 的原函数 3x3x.
③ 3⋅2−3⋅0=63\cdot 2 - 3\cdot 0 = 6 → 6
例2. ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx
① 下限 1，上限 3.
② 2x2x 的原函数 x2x^2.
③ 32−12=83^2 - 1^2 = 8 → 8
例3. ∫02(1+x) dx\int_0^2 (1+x)\,dx
① 下限 0，上限 2.
② 11→xx，xx→x2/2x^2/2，故 x+x2/2x+x^2/2.
③ (2+2)−(0+0)=4(2+2)-(0+0)=4 → 4
例4. 已知 ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2+C，求 x=2x=2 处的值？
① 代入 x2+Cx^2+C，x=2x=2.
② C=0C=0 时 22=42^2 = 4 → 4