Chapter 02

指数与指数函数

指数表示同一数连乘的次数，指数函数则是把这一规则写成变量的函数。深度学习中的激活与损失设计会用到。

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例： $2^0=1$ ， $2^1=2$ ， $2^2=4$ ， $2^3=8$

什么是指数与指数函数

指数表示「同一个数乘了多少次」。例如：2 乘 3 次是

2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8

，这里的 3 就是指数（exponent）。

指数函数是固定底数（base）

a

，对输入

x

输出

a^x

的函数，写成

y = a^x

（

a > 0

，

a \neq 1

）。

a > 1

时随

x

增大而增大，

0 < a < 1

时随

x

增大而减小。

自然常数 $e$ （约 2.718…）是数学和深度学习中常用的特殊底数。描述「自然增长」时会自然出现，且

e^x

求导仍是

e^x

，式子更简洁。Softmax和概率模型中常以

e^z

的形式用于激活与概率计算。

在AI里指数函数用于激活函数（如 softmax 里的

e^x

）和损失、概率设计。与对数结合可以把乘法变成加法，便于计算。

深度学习里的softmax会对每个输出用

e^z

（分数

z

）变成类似概率的形式。不懂指数就很难读懂「为什么这样算」。掌握指数与对数有助于理解激活与损失设计。

损失函数和概率模型里常出现含指数的式子。掌握基础数学里的指数与指数函数，就更容易看清在哪儿、怎么被使用。

在AI里指数函数用来「输入一个分数（数），输出一个正数」。softmax对每个分数做

e^z

，使总和为 1，再从中选一个。掌握指数就能读懂这一过程。

下图中

y = 2^x

在

x=0

时为

1

，

x=1

时为

2

，

x=2

时为

4

，

x=3

时为

8

。可用图直观理解底数与指数的关系。