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Chapter 05

连续性

在某点连续是指该点处极限存在且等于函数值。它是可微性的基础，也是理解深度学习中激活函数与损失函数的基础。

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左：连续 — 曲线在点 (a,f(a))(a, f(a)) 处不断开。右：不连续 — 该点处有洞或跳跃。

连续

lim = f(a)

不连续

f(a) 不存在或 lim ≠ f(a)

连续即 lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)。图像上该点处曲线不断开。

看图顺序

  • 左图：y=x2y = x^2 在 x=2x = 2 处连续（曲线无断点通过 (2, 4)）。
  • 右图：x=ax = a 处无函数值或与极限不同则为不连续（洞或跳跃）。

什么是连续性？

在 x=ax = a 处连续是指：当 xx 趋于 aa 时，f(x)f(x) 趋于 f(a)f(a)，且该极限等于 f(a)f(a)。记作 lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)。从图像上看，曲线在该点不断开、连在一起。
通俗讲：① f(a)f(a) 有定义，② lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) 存在，③ 该极限等于 f(a)f(a)。三者缺一则该点不连续。
用 ε-δ 说：对任意小误差 ε\varepsilon，都存在距离 δ\delta，只要 xx 在 aa 的 δ\delta 邻域内，f(x)f(x) 与 f(a)f(a) 的差就小于 ε\varepsilon。与极限一章思想相同，这里极限值必须等于 f(a)f(a)。
可微则连续。某点处要定义导数（瞬时变化率），函数在该点必须有定义且极限等于函数值。所以学微分前必须先理解连续性。
深度学习里激活函数（ReLU、sigmoid 等）和损失函数通常都是连续的。输入微变时输出平滑变化，梯度下降才能稳定进行。
AI中损失函数衡量预测与正确答案的距离；它必须连续，这样小改进才能带来小损失下降。激活函数连续（或分段连续），反向传播求梯度才有良好定义。
判断某点是否连续时，检查：lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) 是否存在？、f(a)f(a) 是否定义？、二者是否相等？
检查清单：① f(a)f(a) 存在 ② lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) 存在 ③ 极限 =f(a)= f(a)。有一条不满足则该点不连续。
例题与解答见下表。
问题解答
例 1. f(x)=x2f(x) = x^2 在 x=2x = 2 处连续吗？解： f(2)=4f(2) = 4，lim⁡x→2x2=4\lim_{x \to 2} x^2 = 4，相等，故连续。
例 2. g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x} 在 x=0x = 0 处连续吗？解： g(0)g(0) 无定义 → 不连续。
例 3. h(x)=2x+1h(x) = 2x + 1 在 x=−1x = -1 处连续吗？解： h(−1)=−1h(-1) = -1，lim⁡x→−1(2x+1)=−1\lim_{x \to -1} (2x+1) = -1，相等，故连续。