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Chapter 09

积分：面积与累积，通往概率的桥梁

积分是微分的逆运算，用于求曲线下面积、累积量，并与概率、期望相关。

按章节的数学图示

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ab

矩形与曲线之间的空隙会随着分得更细而变小，取极限就得到精确面积（积分）。

定积分表示曲线下面积。先求原函数，再代入上、下限相减。

什么是积分

积分是微分的逆。微分像把面包切得很薄（求变化率），积分则是把那些薄片再拼回去得到原来的量（面积/总量）。符号 ∫\int∫ 是 Sum 的 S 拉长来的。微积分基本定理严格证明了微分与积分互为逆运算。有了它，计算定积分时不必直接取极限，只需找到原函数即可。
用来精确求曲线下面积。对弯弯曲曲的曲线，用无数个极窄的矩形（宽度趋近 0）相加得到精确面积，数学上表示累积变化的总和。
定积分有确定的起点 aaa 和终点 bbb。计算时先求原函数 FFF（导数等于被积函数的函数），再用 F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)（后来状态 − 当初状态）得到累积结果（面积或总量）。
日常累积量离不开它。车速 vvv 每时每刻在变，对时间 ttt 积分就得到总路程。水龙头流量积分得到总水量。凡是把“变化的量”聚成结果，都用积分。
是理解连续概率的钥匙。身高、体重等连续数据中，“身高在 170–180cm 的概率”等于概率密度曲线在该区间下的面积，即积分。积分值就是该事件的概率。
是AI 决策的基础。AI 在不确定下做选择时，会算期望（各结果×概率再求和），这个求和在数学上就是积分。生成模型（VAE、Diffusion）、强化学习的累积奖励期望，都一步也离不开积分。
物理中用来算功与能量：力对距离积分得功；加速度积分得速度，速度积分得位移，用于轨迹与运动预测。
经济中用来把握随时间变化的总需求、总供给，以及消费者剩余、生产者剩余，分析市场效率。
AI 性能与优化：AUC（曲线下面积）就是积分。归一化（使总概率为 1）也要对整段区间积分。网络内部用概率描述数据流时，背后都有积分。
定积分的计算顺序：① 确认上、下限 →
② 求“还原回去的函数” →
③ (上限代入值) − (下限代入值)。
“原函数”是什么？ — 就是把积分号里的式子还原成求导之前得到的那个函数。例如：2x2x2x 求导得 222，所以反过来，“222 积分后是什么？”→ 2x2x2x。也就是说222 的原函数是 2x2x2x。不必纠结术语，就当成“代入上、下限再相减时用的那个函数”即可。
第1步：确认上、下限 — 在 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx∫ab​f(x)dx 中，aaa 是下限，bbb 是上限。若写的是 ∫13\int_1^3∫13​，则下限为 1，上限为 3。
第2步：求“还原回去的函数”（原函数） — 找一个求导后等于被积函数的函数。常用规则：xnx^nxn 次数加 1 再除以该数（例：x2→x3/3x^2 \to x^3/3x2→x3/3，x3→x4/4x^3 \to x^4/4x3→x4/4）。常数后加 xxx（例：5→5x5 \to 5x5→5x）。exe^xex 不变（求导仍是自己）。多项相加时逐项求原函数再相加。
第3步：代入上、下限并相减 — 把上限 bbb代入 F(x)F(x)F(x) 得 F(b)F(b)F(b)，下限 aaa代入得 F(a)F(a)F(a)，算 F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a) 即为答案。
验算与注意 — 对求出的函数求导，看是否等于被积函数。相减顺序始终是 F(上限)−F(下限)F(\text{上限})-F(\text{下限})F(上限)−F(下限)。
什么是「不定积分」？ — 没有上、下限，只写原函数 + C 的积分叫不定积分。例：∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2 + C∫2xdx=x2+C。CCC 为任意常数。若问「在 x=2x=2x=2 处的值？」，只需把 222 代入 x2+Cx^2+Cx2+C；本课程取 C=0C=0C=0 计算。不定积分可理解为定积分里用的「原函数」加上 +C+C+C。
“求原函数在给定点处的值”这类题 — 题目已经给出原函数（如 ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2+C∫2xdx=x2+C），并问“在 x=2x=2x=2 处的值是多少？”时，只要把 2 代入该式即可。x2+Cx^2+Cx2+C 代入 x=2x=2x=2 得 4+C4+C4+C；本课程中取 C=0C=0C=0，所以答案是 22=42^2=422=4。取 C=0C=0C=0 则 22=42^2=422=4 为答案。
例题与分步解答。（定积分为
①·
②·
③；不定积分代入题为
①·
②。）
例1. ∫023 dx\int_0^2 3\,dx∫02​3dx
① 下限 0，上限 2.
② 333 的原函数 3x3x3x.
③ 3⋅2−3⋅0=63\cdot 2 - 3\cdot 0 = 63⋅2−3⋅0=6 → 6
例2. ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx∫13​2xdx
① 下限 1，上限 3.
② 2x2x2x 的原函数 x2x^2x2.
③ 32−12=83^2 - 1^2 = 832−12=8 → 8
例3. ∫02(1+x) dx\int_0^2 (1+x)\,dx∫02​(1+x)dx
① 下限 0，上限 2.
② 111→xxx，xxx→x2/2x^2/2x2/2，故 x+x2/2x+x^2/2x+x2/2.
③ (2+2)−(0+0)=4(2+2)-(0+0)=4(2+2)−(0+0)=4 → 4
例4. 已知 ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2+C∫2xdx=x2+C，求 x=2x=2x=2 处的值？
① 代入 x2+Cx^2+Cx2+C，x=2x=2x=2.
② C=0C=0C=0 时 22=42^2 = 422=4 → 4
按题型解题
  • 类型常数定积分
  • 说明∫abc dx\int_a^b c\,dx∫ab​cdx
  • 求法原函数 cxcxcx，答案为 c(b−a)c(b-a)c(b−a)。
  • 类型一次式定积分
  • 说明∫abx dx\int_a^b x\,dx∫ab​xdx 或 kx dxkx\,dxkxdx
  • 求法原函数 x2/2x^2/2x2/2 或 kx2/2kx^2/2kx2/2，代入上、下限相减。
  • 类型多项式定积分
  • 说明∫ab(多项)\int_a^b (多项)∫ab​(多项)
  • 求法逐项求原函数（xn→xn+1/(n+1)x^n \to x^{n+1}/(n+1)xn→xn+1/(n+1)），再 F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)。
  • 类型原函数在某点值
  • 说明已知原函数，求 x=kx=kx=k 处的值
  • 求法直接把 kkk 代入原函数（常取 C=0C=0C=0）。
类型说明求法
常数定积分∫abc dx\int_a^b c\,dx∫ab​cdx原函数 cxcxcx，答案为 c(b−a)c(b-a)c(b−a)。
一次式定积分∫abx dx\int_a^b x\,dx∫ab​xdx 或 kx dxkx\,dxkxdx原函数 x2/2x^2/2x2/2 或 kx2/2kx^2/2kx2/2，代入上、下限相减。
多项式定积分∫ab(多项)\int_a^b (多项)∫ab​(多项)逐项求原函数（xn→xn+1/(n+1)x^n \to x^{n+1}/(n+1)xn→xn+1/(n+1)），再 F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)。
原函数在某点值已知原函数，求 x=kx=kx=k 处的值直接把 kkk 代入原函数（常取 C=0C=0C=0）。
例（常数定积分）
求 ∫023 dx\int_0^2 3\,dx∫02​3dx。
解
① 下限 0，上限 2。
② 原函数 3x3x3x。
③ 3⋅2−3⋅0=63\cdot 2-3\cdot 0=63⋅2−3⋅0=6。→ 答 6
例（一次式定积分）
求 ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx∫13​2xdx。
解
① 下限 1，上限 3。
② 原函数 x2x^2x2。
③ 32−12=83^2-1^2=832−12=8。→ 答 8
例（原函数在某点值）
已知 ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx=x^2+C∫2xdx=x2+C，求 x=2x=2x=2 处的值。
解
代入 x2+Cx^2+Cx2+C，x=2x=2x=2；C=0C=0C=0 时 22=42^2=422=4。→ 答 4