Chapter 09

积分：面积与累积，通往概率的桥梁

积分是微分的逆运算，用于求曲线下面积、累积量，并与概率、期望相关。

按章节的数学图示

选择章节后，下方图示会切换为该章节内容。可一览基础数学的脉络。

矩形与曲线之间的空隙会随着分得更细而变小，取极限就得到精确面积（积分）。

定积分表示曲线下面积。先求原函数，再代入上、下限相减。

什么是积分

积分是微分的逆。微分像把面包切得很薄（求变化率），积分则是把那些薄片再拼回去得到原来的量（面积/总量）。符号

\int

是 Sum 的 S 拉长来的。微积分基本定理严格证明了微分与积分互为逆运算。有了它，计算定积分时不必直接取极限，只需找到原函数即可。

用来精确求曲线下面积。对弯弯曲曲的曲线，用无数个极窄的矩形（宽度趋近 0）相加得到精确面积，数学上表示累积变化的总和。

定积分有确定的起点

a

和终点

b

。计算时先求原函数

F

（导数等于被积函数的函数），再用 $F(b)-F(a)$ （后来状态 − 当初状态）得到累积结果（面积或总量）。

日常累积量离不开它。车速

v

每时每刻在变，对时间

t

积分就得到总路程。水龙头流量积分得到总水量。凡是把“变化的量”聚成结果，都用积分。

是理解连续概率的钥匙。身高、体重等连续数据中，“身高在 170–180cm 的概率”等于概率密度曲线在该区间下的面积，即积分。积分值就是该事件的概率。

是AI 决策的基础。AI 在不确定下做选择时，会算期望（各结果×概率再求和），这个求和在数学上就是积分。生成模型（VAE、Diffusion）、强化学习的累积奖励期望，都一步也离不开积分。

物理中用来算功与能量：力对距离积分得功；加速度积分得速度，速度积分得位移，用于轨迹与运动预测。

经济中用来把握随时间变化的总需求、总供给，以及消费者剩余、生产者剩余，分析市场效率。

AI 性能与优化：AUC（曲线下面积）就是积分。归一化（使总概率为 1）也要对整段区间积分。网络内部用概率描述数据流时，背后都有积分。

定积分按 ① 下、上限 →

② 原函数 →

③

F(\text{上限})-F(\text{下限})

三步做。

原函数是把

\int

里的式子还原到求导前的那个函数。

规则：

x^n

升幂再除以新指数；常数

c

写成

cx

；

e^x

不变；和式要逐项还原再相加。对

F

求导验算是否等于被积函数；相减永远是 (上限) − (下限)。

不定积分只写原函数

+\,C

。问「

x=k

处的值」时一般取

C=0

代入。

最简单的例子：

\displaystyle\int_0^2 3\,dx

原函数

3x

→

(3\cdot 2)-(3\cdot 0)=6

。答案 6。

下表从易到难列出几类。每一行：先求原函数，再在上、下限处取值相减。

题目 $\int_0^2 3\,dx$
要点 $3x$

题目 $\int_1^3 2x\,dx$
要点 $x^2$

题目 $\int_0^2 (1+x)\,dx$
要点 $x+x^2/2$

题目 $\int 2x\,dx=x^2+C$
要点 $2^2=4$

题目	要点
$\int_0^2 3\,dx$	原函数 $3x$ → $(3\cdot 2)-(3\cdot 0)=6$
$\int_1^3 2x\,dx$	原函数 $x^2$ → $3^2-1^2=8$
$\int_0^2 (1+x)\,dx$	原函数 $x+x^2/2$ → $(2+2^2/2)-0=4$
$\int 2x\,dx=x^2+C$ ， $x=2$ （ $C=0$ ）	$2^2=4$

按题型解题

类型 $常数定积分$
说明 $\int_a^b c\,dx$
求法 $cx$

类型 $一次式定积分$
说明 $\int_a^b x\,dx$
求法 $x^2/2$

类型 $多项式定积分$
说明 $\int_a^b (多项)$
求法 $x^n \to x^{n+1}/(n+1)$

类型 $原函数在某点值$
说明 $x=k$
求法 $k$

类型	说明	求法
常数定积分	$\int_a^b c\,dx$	原函数 $cx$ ，答案为 $c(b-a)$ 。
一次式定积分	$\int_a^b x\,dx$ 或 $kx\,dx$	原函数 $x^2/2$ 或 $kx^2/2$ ，代入上、下限相减。
多项式定积分	$\int_a^b (多项)$	逐项求原函数（ $x^n \to x^{n+1}/(n+1)$ ），再 $F(b)-F(a)$ 。
原函数在某点值	已知原函数，求 $x=k$ 处的值	直接把 $k$ 代入原函数（常取 $C=0$ ）。

例（常数定积分）

求

\int_0^2 3\,dx

。

解

① 下限 0，上限 2。

② 原函数

3x

。

③

3\cdot 2-3\cdot 0=6

。→ 答 6

例（一次式定积分）

求

\int_1^3 2x\,dx

。

解

① 下限 1，上限 3。

② 原函数

x^2

。

③

3^2-1^2=8

。→ 答 8

例（原函数在某点值）

已知

\int 2x\,dx=x^2+C

，求

x=2

处的值。

解

代入

x^2+C

，

x=2

；

C=0

时

2^2=4

。→ 答 4

什么是积分

积分是微分的逆。微分像把面包切得很薄（求变化率），积分则是把那些薄片再拼回去得到原来的量（面积/总量）。符号

\int

是 Sum 的 S 拉长来的。微积分基本定理严格证明了微分与积分互为逆运算。有了它，计算定积分时不必直接取极限，只需找到原函数即可。

用来精确求曲线下面积。对弯弯曲曲的曲线，用无数个极窄的矩形（宽度趋近 0）相加得到精确面积，数学上表示累积变化的总和。

定积分有确定的起点

a

和终点

b

。计算时先求原函数

F

（导数等于被积函数的函数），再用 $F(b)-F(a)$ （后来状态 − 当初状态）得到累积结果（面积或总量）。

日常累积量离不开它。车速

v

每时每刻在变，对时间

t

积分就得到总路程。水龙头流量积分得到总水量。凡是把“变化的量”聚成结果，都用积分。

物理中用来算功与能量：力对距离积分得功；加速度积分得速度，速度积分得位移，用于轨迹与运动预测。

经济中用来把握随时间变化的总需求、总供给，以及消费者剩余、生产者剩余，分析市场效率。

AI 性能与优化：AUC（曲线下面积）就是积分。归一化（使总概率为 1）也要对整段区间积分。网络内部用概率描述数据流时，背后都有积分。

定积分按 ① 下、上限 →

② 原函数 →

③

F(\text{上限})-F(\text{下限})

三步做。

原函数是把

\int

里的式子还原到求导前的那个函数。

规则：

x^n

升幂再除以新指数；常数

c

写成

cx

；

e^x

不变；和式要逐项还原再相加。对

F

求导验算是否等于被积函数；相减永远是 (上限) − (下限)。

不定积分只写原函数

+\,C

。问「

x=k

处的值」时一般取

C=0

代入。

最简单的例子：

\displaystyle\int_0^2 3\,dx

原函数

3x

→

(3\cdot 2)-(3\cdot 0)=6

。答案 6。

下表从易到难列出几类。每一行：先求原函数，再在上、下限处取值相减。

题目 $\int_0^2 3\,dx$
要点 $3x$

题目 $\int_1^3 2x\,dx$
要点 $x^2$

题目 $\int_0^2 (1+x)\,dx$
要点 $x+x^2/2$

题目 $\int 2x\,dx=x^2+C$
要点 $2^2=4$

题目	要点
$\int_0^2 3\,dx$	原函数 $3x$ → $(3\cdot 2)-(3\cdot 0)=6$
$\int_1^3 2x\,dx$	原函数 $x^2$ → $3^2-1^2=8$
$\int_0^2 (1+x)\,dx$	原函数 $x+x^2/2$ → $(2+2^2/2)-0=4$
$\int 2x\,dx=x^2+C$ ， $x=2$ （ $C=0$ ）	$2^2=4$

按题型解题

类型 $常数定积分$
说明 $\int_a^b c\,dx$
求法 $cx$

类型 $一次式定积分$
说明 $\int_a^b x\,dx$
求法 $x^2/2$

类型 $多项式定积分$
说明 $\int_a^b (多项)$
求法 $x^n \to x^{n+1}/(n+1)$

类型 $原函数在某点值$
说明 $x=k$
求法 $k$

类型	说明	求法
常数定积分	$\int_a^b c\,dx$	原函数 $cx$ ，答案为 $c(b-a)$ 。
一次式定积分	$\int_a^b x\,dx$ 或 $kx\,dx$	原函数 $x^2/2$ 或 $kx^2/2$ ，代入上、下限相减。
多项式定积分	$\int_a^b (多项)$	逐项求原函数（ $x^n \to x^{n+1}/(n+1)$ ），再 $F(b)-F(a)$ 。
原函数在某点值	已知原函数，求 $x=k$ 处的值	直接把 $k$ 代入原函数（常取 $C=0$ ）。

例（常数定积分）

求

\int_0^2 3\,dx

。

解

① 下限 0，上限 2。

② 原函数

3x

。

③

3\cdot 2-3\cdot 0=6

。→ 答 6

例（一次式定积分）

求

\int_1^3 2x\,dx

。

解

① 下限 1，上限 3。

② 原函数

x^2

。

③

3^2-1^2=8

。→ 答 8

例（原函数在某点值）

已知

\int 2x\,dx=x^2+C

，求

x=2

处的值。

解

代入

x^2+C

，

x=2

；

C=0

时

2^2=4

。→ 答 4