Chapter 06

微分与导函数：瞬时斜率，学习的指南针

微分表示某一点的瞬时变化率（斜率）。导函数是将其视为函数的形式，是深度学习梯度下降与反向传播的基础。

按章节的数学图示

选择章节后，下方图示会切换为该章节内容。可一览基础数学的脉络。

左：切线 — 在曲线上一点处仅接触一条的直线。其斜率就是该点处的导数。右：两点连线 — 过曲线上两点的直线。两点趋近时这条线趋近于切线，该极限就是导数。

在曲线 $y=x^2$ 上取一点 (2, 4)。我们想量这一点的「斜率」。

导数就是切线的斜率。「两点连线斜率」在两点重合时的极限就是切线斜率。

什么是微分与导函数

微分（Derivative）是曲线上某一点处图形「瞬时变化率」——即该点处有多陡。几何上等于该点的切线斜率。就像汽车速度表显示每一瞬间的速度一样，微分用数字告诉我们：当输入

x

发生微小变化时，输出

y

会有多敏感地反应。

数学上，这个斜率是先求「非常接近的两点间的平均斜率」，再让两点间距趋于 0 取极限（Limit）而得到的。公式为

f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

。（分母

h

是两点间距，分子是

f

的相应变化量。）这样得到的值称为导数（微分系数），记作

f^{\prime}(a)

。该值越大表示越陡，为 0 表示平坦。

导函数是把函数

f(x)

在每个点处的导数（斜率）对应起来得到的新函数。也就是说，不必逐点算斜率，只要把

x

代入导函数式子就能得到该处的斜率，相当于「斜率生成器」。求这个导函数的过程就叫做「求导」。

区分 $下面$
说明 $常用的微分公式。$

区分 $'$
说明 $表示求导（导函数）。$

区分	说明
下面	常用的微分公式。
$'$	表示求导（导函数）。

公式 $常数$
说明 $求导为 0$

公式 $x^n$
说明 $n$

公式 $e^x$
说明 $e^x$

公式 $a^x$
说明 $a^x \ln a$

公式 $\ln x$
说明 $1/x$

公式 $对数 (底 a)$
说明 $1/(x \ln a)$

公式 $sin$
说明 $求导为 cos$

公式 $cos$
说明 $-\sin$

公式 $tan$
说明 $1/\cos^2$

公式 $和/差$
说明 $各自求导后相加或相减$

公式 $常数倍$
说明 $常数保留，只对里面求导$

公式 $乘积法则$
说明 $(第一个的导数)\times第二个 + 第一个\times(第二个的导数)$

公式 $商的法则$
说明 $(上导数\times下 - 上\times下导数) / 下的平方$

公式 $直观（积）$
说明 $「第一个的导数\times第二个」+「第一个\times第二个的导数」。极限里拆开，两个变化相加就得到这两项。$

公式 $直观（商）$
说明 $把商看成「上\times(1/下)」用乘积法则。(1/下)的导数代入整理即得上面公式。$

公式	说明
常数	求导为 0
幂 $x^n$	前面乘 $n$ ，指数变为 $n-1$
指数 $e^x$	求导仍为 $e^x$
指数 $a^x$	$a^x \ln a$
自然对数 $\ln x$	$1/x$
对数 (底 a)	$1/(x \ln a)$
sin	求导为 cos
cos	求导为 $-\sin$
tan	求导为 $1/\cos^2$
和/差	各自求导后相加或相减
常数倍	常数保留，只对里面求导
乘积法则	(第一个的导数)×第二个 + 第一个×(第二个的导数)
商的法则	(上导数×下 − 上×下导数) / 下的平方
直观（积）	「第一个的导数×第二个」+「第一个×第二个的导数」。极限里拆开，两个变化相加就得到这两项。
直观（商）	把商看成「上×(1/下)」用乘积法则。(1/下)的导数代入整理即得上面公式。

公式 $常数$
数值例子 $(5)'=0、(-3)'=0$
解题步骤 $求导为 0$

公式 $x^n$
数值例子 $(x^3)'=3x^2$
解题步骤 $n-1$

公式 $e^x$
数值例子 $x=0$
解题步骤 $求导不变$

公式 $a^x$
数值例子 $(2^x)'=2^x \ln 2$
解题步骤 $\ln a$

公式 $\ln x$
数值例子 $x=5$
解题步骤 $1/x$

公式 $sin$
数值例子 $x=0$
解题步骤 $sin \to cos$

公式 $cos$
数值例子 $x=0$
解题步骤 $-\sin$

公式 $和$
数值例子 $(x^2+x)'=2x+1$
解题步骤 $逐项求导再相加$

公式 $常数倍$
数值例子 $(5x^2)'=10x$
解题步骤 $x^2$

公式 $积$
数值例子 $(x\cdot e^x)'=e^x(1+x)$
解题步骤 $(第一个的导数)\times第二个 + 第一个\times(第二个的导数)$

公式 $商$
数值例子 $x/(x^2+1)$
解题步骤 $(上导数\times下-上\times下导数)/下的平方代入$

公式	数值例子	解题步骤
常数	(5)'=0、(-3)'=0	求导为 0
$x^n$	$(x^3)'=3x^2$ ， $x=2$ 时为 12	指数乘到前面，指数变为 $n-1$
$e^x$	$x=0$ 时为 1， $x=1$ 时为 $e$	求导不变
$a^x$	$(2^x)'=2^x \ln 2$	乘以 $\ln a$
$\ln x$	$x=5$ 时为 $1/5$	求导为 $1/x$
sin	$x=0$ 时为 1	sin → cos
cos	$x=0$ 时为 0	cos → $-\sin$
和	$(x^2+x)'=2x+1$	逐项求导再相加
常数倍	$(5x^2)'=10x$	常数保留，只对 $x^2$ 求导
积	$(x\cdot e^x)'=e^x(1+x)$	(第一个的导数)×第二个 + 第一个×(第二个的导数)
商	$x/(x^2+1)$ 在 $x=1$ 时为 0	(上导数×下−上×下导数)/下的平方代入

用日常话说，导数是寻找最优点的指南针。从山顶想下到最低的谷底时，我们顺着脚下感觉到的坡度往下走。导数把这条「坡」精确算出来。坡度为零的地方往往是山顶（最大）或谷底（最小），所以求最小值或最大值时导数必不可少。

深度学习模型要最小化正确答案与预测之间的误差（损失）。梯度就是在决定「该怎样改模型里大量权重(

w

)才能让误差变小」。通过求导可以知道「某个权重稍微增大时误差会变大还是变小」，从而沿误差下降最快的方向更新权重。

反向传播是把这套导数思想反过来用的高效学习方法：从输出端一步步往回走，用导数算「每一层对最终误差贡献多少」。要对层层叠叠的函数求导，就要用复合函数求导（链式法则），本章学的基本导函数公式正是它的基础。

通常导数用来做敏感性分析：一个变量动一点时，整体结果会晃多少？经济学里问「价格稍微涨一点，需求会多敏感」；物理学里量「随时间位置变化多快（速度）」。所以凡是把「原因」的微小变化对「结果」的影响量化出来的地方，都在用导数。

AI 学习系统里，所有参数更新都依赖导数值。用 PyTorch、TensorFlow 这类库时，内部会在瞬间对损失按每个权重求导。沿导数值反方向移动权重就是梯度下降。本章学的公式是理解 AI 如何通过计算变聪明的第一把钥匙。

求导时，先看适用哪些法则（幂、指数、对数、三角、积、商、链式），再按法则写并化简。

例题与解答见下表。

问题 $f(x)=x^3-2x$
解答 $f^{\prime}(x)=3x^2-2$

问题 $g(x)=e^x \ln x$
解答 $e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

问题 $h(x)=\frac{\sin x}{x}$
解答 $\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$

问题	解答
例1. $f(x)=x^3-2x$ 的导函数	幂与和： $f^{\prime}(x)=3x^2-2$
例2. $g(x)=e^x \ln x$ 的导函数	乘积法则： $e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$
例3. $h(x)=\frac{\sin x}{x}$ 的导函数	商的法则： $\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$

按题型解题

类型 $幂$
式子·公式 $f(x)=x^n$
在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法 $f^{\prime}(a) = n \cdot a^{n-1}$

类型 $一次式$
式子·公式 $f(x)=mx+b$
在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法 $f^{\prime}(a) = m$

类型 $二次式$
式子·公式 $f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0$
在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法 $f^{\prime}(a) = 2 a_2 \cdot a + a_1$

类型 $常数倍\cdot幂$
式子·公式 $f(x)=c \cdot x^n$
在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法 $f^{\prime}(a) = c \cdot n \cdot a^{n-1}$

类型	式子·公式	在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法
幂	$f(x)=x^n$	$f^{\prime}(a) = n \cdot a^{n-1}$ 。指数提到前面、指数减一后代入 $a$ 。
一次式	$f(x)=mx+b$	$f^{\prime}(a) = m$ 。斜率为导函数，故与 $a$ 无关，答案为 $m$ 。
二次式	$f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0$	$f^{\prime}(a) = 2 a_2 \cdot a + a_1$ 。 $x^2$ 系数的 2 倍× $a$ ＋一次项系数。
常数倍·幂	$f(x)=c \cdot x^n$	$f^{\prime}(a) = c \cdot n \cdot a^{n-1}$ 。常数 $c$ 保留，乘以 $x^n$ 的导数。

例（幂）

当

f(x)=x^3

时，求

x=2

处的导数

f^{\prime} (2)

。

解答

f^{\prime}(x)=3x^2

，故

f^{\prime} (2) =3 \times 2^2 = 12

。→ 答案 12

例（一次式）

当

f(x)=3x+1

时，求

x=5

处的导数

f^{\prime} (5)

。

解答

一次式的导函数等于斜率，故

f^{\prime}(x)=3

。与

a

无关，

f^{\prime} (5) =3

。→ 答案 3

例（二次式）

当

f(x)=x^2+2x+1

时，求

x=3

处的导数

f^{\prime} (3)

。

解答

f^{\prime}(x)=2x+2

，故

f^{\prime} (3) =2 \times 3 + 2 = 8

。→ 答案 8

例（常数倍·幂）

当

f(x)=2x^4

时，求

x=1

处的导数

f^{\prime} (1)

。

解答

f^{\prime}(x)=2 \times 4 \times x^3 = 8x^3

，故

f^{\prime} (1) =8 \times 1 = 8

。→ 答案 8

什么是微分与导函数

x

发生微小变化时，输出

y

会有多敏感地反应。

数学上，这个斜率是先求「非常接近的两点间的平均斜率」，再让两点间距趋于 0 取极限（Limit）而得到的。公式为

f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

。（分母

h

是两点间距，分子是

f

的相应变化量。）这样得到的值称为导数（微分系数），记作

f^{\prime}(a)

。该值越大表示越陡，为 0 表示平坦。

导函数是把函数

f(x)

在每个点处的导数（斜率）对应起来得到的新函数。也就是说，不必逐点算斜率，只要把

x

代入导函数式子就能得到该处的斜率，相当于「斜率生成器」。求这个导函数的过程就叫做「求导」。

区分 $下面$
说明 $常用的微分公式。$

区分 $'$
说明 $表示求导（导函数）。$

区分	说明
下面	常用的微分公式。
$'$	表示求导（导函数）。

公式 $常数$
说明 $求导为 0$

公式 $x^n$
说明 $n$

公式 $e^x$
说明 $e^x$

公式 $a^x$
说明 $a^x \ln a$

公式 $\ln x$
说明 $1/x$

公式 $对数 (底 a)$
说明 $1/(x \ln a)$

公式 $sin$
说明 $求导为 cos$

公式 $cos$
说明 $-\sin$

公式 $tan$
说明 $1/\cos^2$

公式 $和/差$
说明 $各自求导后相加或相减$

公式 $常数倍$
说明 $常数保留，只对里面求导$

公式 $乘积法则$
说明 $(第一个的导数)\times第二个 + 第一个\times(第二个的导数)$

公式 $商的法则$
说明 $(上导数\times下 - 上\times下导数) / 下的平方$

公式 $直观（积）$
说明 $「第一个的导数\times第二个」+「第一个\times第二个的导数」。极限里拆开，两个变化相加就得到这两项。$

公式 $直观（商）$
说明 $把商看成「上\times(1/下)」用乘积法则。(1/下)的导数代入整理即得上面公式。$

公式	说明
常数	求导为 0
幂 $x^n$	前面乘 $n$ ，指数变为 $n-1$
指数 $e^x$	求导仍为 $e^x$
指数 $a^x$	$a^x \ln a$
自然对数 $\ln x$	$1/x$
对数 (底 a)	$1/(x \ln a)$
sin	求导为 cos
cos	求导为 $-\sin$
tan	求导为 $1/\cos^2$
和/差	各自求导后相加或相减
常数倍	常数保留，只对里面求导
乘积法则	(第一个的导数)×第二个 + 第一个×(第二个的导数)
商的法则	(上导数×下 − 上×下导数) / 下的平方
直观（积）	「第一个的导数×第二个」+「第一个×第二个的导数」。极限里拆开，两个变化相加就得到这两项。
直观（商）	把商看成「上×(1/下)」用乘积法则。(1/下)的导数代入整理即得上面公式。

公式 $常数$
数值例子 $(5)'=0、(-3)'=0$
解题步骤 $求导为 0$

公式 $x^n$
数值例子 $(x^3)'=3x^2$
解题步骤 $n-1$

公式 $e^x$
数值例子 $x=0$
解题步骤 $求导不变$

公式 $a^x$
数值例子 $(2^x)'=2^x \ln 2$
解题步骤 $\ln a$

公式 $\ln x$
数值例子 $x=5$
解题步骤 $1/x$

公式 $sin$
数值例子 $x=0$
解题步骤 $sin \to cos$

公式 $cos$
数值例子 $x=0$
解题步骤 $-\sin$

公式 $和$
数值例子 $(x^2+x)'=2x+1$
解题步骤 $逐项求导再相加$

公式 $常数倍$
数值例子 $(5x^2)'=10x$
解题步骤 $x^2$

公式 $积$
数值例子 $(x\cdot e^x)'=e^x(1+x)$
解题步骤 $(第一个的导数)\times第二个 + 第一个\times(第二个的导数)$

公式 $商$
数值例子 $x/(x^2+1)$
解题步骤 $(上导数\times下-上\times下导数)/下的平方代入$

公式	数值例子	解题步骤
常数	(5)'=0、(-3)'=0	求导为 0
$x^n$	$(x^3)'=3x^2$ ， $x=2$ 时为 12	指数乘到前面，指数变为 $n-1$
$e^x$	$x=0$ 时为 1， $x=1$ 时为 $e$	求导不变
$a^x$	$(2^x)'=2^x \ln 2$	乘以 $\ln a$
$\ln x$	$x=5$ 时为 $1/5$	求导为 $1/x$
sin	$x=0$ 时为 1	sin → cos
cos	$x=0$ 时为 0	cos → $-\sin$
和	$(x^2+x)'=2x+1$	逐项求导再相加
常数倍	$(5x^2)'=10x$	常数保留，只对 $x^2$ 求导
积	$(x\cdot e^x)'=e^x(1+x)$	(第一个的导数)×第二个 + 第一个×(第二个的导数)
商	$x/(x^2+1)$ 在 $x=1$ 时为 0	(上导数×下−上×下导数)/下的平方代入

深度学习模型要最小化正确答案与预测之间的误差（损失）。梯度就是在决定「该怎样改模型里大量权重(

w

)才能让误差变小」。通过求导可以知道「某个权重稍微增大时误差会变大还是变小」，从而沿误差下降最快的方向更新权重。

求导时，先看适用哪些法则（幂、指数、对数、三角、积、商、链式），再按法则写并化简。

例题与解答见下表。

问题 $f(x)=x^3-2x$
解答 $f^{\prime}(x)=3x^2-2$

问题 $g(x)=e^x \ln x$
解答 $e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

问题 $h(x)=\frac{\sin x}{x}$
解答 $\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$

问题	解答
例1. $f(x)=x^3-2x$ 的导函数	幂与和： $f^{\prime}(x)=3x^2-2$
例2. $g(x)=e^x \ln x$ 的导函数	乘积法则： $e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$
例3. $h(x)=\frac{\sin x}{x}$ 的导函数	商的法则： $\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$

按题型解题

类型 $幂$
式子·公式 $f(x)=x^n$
在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法 $f^{\prime}(a) = n \cdot a^{n-1}$

类型 $一次式$
式子·公式 $f(x)=mx+b$
在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法 $f^{\prime}(a) = m$

类型 $二次式$
式子·公式 $f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0$
在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法 $f^{\prime}(a) = 2 a_2 \cdot a + a_1$

类型 $常数倍\cdot幂$
式子·公式 $f(x)=c \cdot x^n$
在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法 $f^{\prime}(a) = c \cdot n \cdot a^{n-1}$

类型	式子·公式	在 $x=a$ 处求 $f^{\prime}(a)$ 的方法
幂	$f(x)=x^n$	$f^{\prime}(a) = n \cdot a^{n-1}$ 。指数提到前面、指数减一后代入 $a$ 。
一次式	$f(x)=mx+b$	$f^{\prime}(a) = m$ 。斜率为导函数，故与 $a$ 无关，答案为 $m$ 。
二次式	$f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0$	$f^{\prime}(a) = 2 a_2 \cdot a + a_1$ 。 $x^2$ 系数的 2 倍× $a$ ＋一次项系数。
常数倍·幂	$f(x)=c \cdot x^n$	$f^{\prime}(a) = c \cdot n \cdot a^{n-1}$ 。常数 $c$ 保留，乘以 $x^n$ 的导数。

例（幂）

当

f(x)=x^3

时，求

x=2

处的导数

f^{\prime} (2)

。

解答

f^{\prime}(x)=3x^2

，故

f^{\prime} (2) =3 \times 2^2 = 12

。→ 答案 12

例（一次式）

当

f(x)=3x+1

时，求

x=5

处的导数

f^{\prime} (5)

。

解答

一次式的导函数等于斜率，故

f^{\prime}(x)=3

。与

a

无关，

f^{\prime} (5) =3

。→ 答案 3

例（二次式）

当

f(x)=x^2+2x+1

时，求

x=3

处的导数

f^{\prime} (3)

。

解答

f^{\prime}(x)=2x+2

，故

f^{\prime} (3) =2 \times 3 + 2 = 8

。→ 答案 8

例（常数倍·幂）

当

f(x)=2x^4

时，求

x=1

处的导数

f^{\prime} (1)

。

解答

f^{\prime}(x)=2 \times 4 \times x^3 = 8x^3

，故

f^{\prime} (1) =8 \times 1 = 8

。→ 答案 8