모두의AI

Chapter 09

적분

적분은 미분의 역연산이에요. 곡선 아래 넓이·누적량을 구하고, 확률·기댓값을 다룰 때 씁니다.

챕터별 수학 도식화

챕터를 선택하면 아래 도식이 해당 챕터 내용으로 바뀌어요. 기초 수학 흐름을 한눈에 보세요.

직사각형과 곡선 사이 빈 공간은 조각을 더 잘게 나눌수록 줄어들어, 극한으로 정확한 넓이(적분)가 됩니다.

정적분은 곡선 아래 넓이예요. 구간을 잘게 나눈 직사각형 넓이의 합으로 근사하고, 조각을 더 잘게 나누면 직사각형과 곡선 사이 빈 공간이 줄어들어 그 극한이 정적분이에요.

적분이란 무엇인가

한마디로 적분은 미분의 역연산이에요. 어떤 함수를 미분한 결과를 다시 되돌리는 거예요. 기호는 ∫\int를 쓰고, 구간 [a,b][a,b]에서의 정적분은 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx로 씁니다.
넓이와 연결돼요. 곡선과 xx축, 그리고 x=ax=a, x=bx=b 사이에 끼인 넓이를 정적분으로 정의해요. 양수인 함수면 '곡선 아래 넓이'가 됩니다.
정적분은 ‘되찾는 함수’(적분 기호 안 식을 미분하기 전으로 되찾은 것)를 찾아서, 위끝과 아래끝을 넣은 값의 차이로 계산해요. 핵심 수식: F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)일 때 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)예요. 이때 FF를 ff의 역도함수라고 부르지만, ‘되찾는 함수’라고 생각하면 돼요.
일상에서도 씁니다. 속도가 변할 때 총 이동 거리는 속도를 적분한 값이에요. 시간에 따라 쌓이는 총량(물류, 전력 소비)도 구간을 적분해서 구해요.
확률에서 연속 분포의 '어떤 구간에 있을 확률'은 그 구간에서 확률밀도를 적분한 값이에요. 날씨 예보의 '기온이 20~25도일 확률', 품질 검사에서 '치수가 허용 범위 안일 확률'처럼 쓰여요.
인공지능·딥러닝에서는 적분이 꼭 필요해요. 연속 확률 분포를 쓰는 모델(이미지 생성, 음성, 예측)에서 구간 확률과 기댓값은 모두 적분으로 계산돼요. VAE, 정규화 흐름, 베이즈 신경망처럼 분포를 다루는 모델은 적분 없이 설명할 수 없고, 강화학습에서도 누적 보상 기댓값이 적분이에요. Ch10~Ch12 확률·분포 챕터로 가면 적분이 자연스럽게 등장합니다.
물리에서는 거리·일·전하량·유량 같은 '누적량'을 적분으로 구해요. 가속도를 적분하면 속도, 속도를 적분하면 거리가 됩니다.
경제에서는 시간에 따른 수요·비용을 합칠 때 적분을 쓰기도 해요. 연속적으로 변하는 흐름을 하나의 값으로 모을 때요.
인공지능에서는 이렇게 써요. (1) 생성 모델 — VAE, 확산 모델 등은 연속 분포의 기댓값·로그우도를 적분으로 계산해요. (2) 베이즈 추론 — 사후 분포의 평균·확률은 적분이에요. (3) 강화학습 — 정책의 기대 보상은 보상 함수를 적분한 값이에요. (4) 연속 출력 — 예측값이 구간일 때 '그 구간에 들어갈 확률'도 적분이에요. 정적분과 역도함수를 여기서 익혀 두면 Ch10 이후 확률·AI 챕터가 훨씬 수월해져요.
정적분은 ① 위끝·아래끝 확인 → ② ‘되찾는 함수’ 찾기 → ③ (위끝 대입값) − (아래끝 대입값) 순서로 구해요.
‘역도함수’가 뭐예요? — 적분 기호 안에 있는 식을 미분하기 전 모습으로 되찾은 함수예요. 예: 2x2x를 미분하면 22가 되니까, 반대로 ‘22를 적분하면?’ → 2x2x가 돼요. 그래서 22의 역도함수는 2x2x라고 해요. 어렵게 생각하지 말고, ‘위끝·아래끝에 넣었다 빼기 위해 쓰는 함수’라고만 생각해도 충분해요.
1단계: 위끝·아래끝 확인 — ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx에서 aa가 아래끝, bb가 위끝이에요. 문제에 ∫13\int_1^3처럼 적혀 있으면 아래끝 1, 위끝 3이에요.
2단계: 되찾는 함수(역도함수) 찾기 — 적분 기호 안 식을 ‘미분하기 전’으로 되찾은 함수를 하나 찾으면 돼요. 자주 쓰는 것: xnx^n → xn+1/(n+1)x^{n+1}/(n+1), 상수 cc → cxcx, xx → x2/2x^2/2. 항이 여러 개면 항마다 되찾은 뒤 더하면 돼요.
3단계: 위끝·아래끝 대입해서 빼기 — 찾은 함수 F(x)F(x)에 위끝 bb 넣은 값에서 아래끝 aa 넣은 값을 빼요. F(b)−F(a)F(b)-F(a) 한 번이 답이에요.
검산·주의 — 찾은 함수를 미분했을 때 적분 기호 안 식이 나오는지 확인해 보세요. 뺄셈 순서는 항상 F(위끝)−F(아래끝)F(\text{위끝})-F(\text{아래끝})이에요.
‘부정적분’이 뭐예요? — 위끝·아래끝이 없이 되찾는 함수 + C만 쓰는 적분을 부정적분이라고 해요. 예: ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2 + C. 여기서 CC는 아무 상수예요. 나중에 ‘x=2x=2에서의 값은?’처럼 물으면, 그냥 x2+Cx^2+C에 22를 넣으면 되고, 이 코스에서는 C=0C=0으로 두고 계산합니다. 부정적분은 정적분에서 쓰는 ‘되찾는 함수’를 +C+C 붙여 쓴 것이라고 보면 돼요.
‘역도함수에 주어진 값을 대입한 결과’ 문제 — ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2 + C처럼 되찾는 함수가 이미 주어지고 "x=2x=2에서의 값은?"이라고 물을 때는 그 식에 2를 대입하면 돼요. C=0C=0이면 22=42^2=4가 답이에요.
예시 문제와 단계별 풀이예요. (정적분은 ①·②·③, 부정적분 대입은 ①·②만 해당)
예시 1. ∫023 dx\int_0^2 3\,dx
① 아래끝 0, 위끝 2.
② 33을 되찾는 함수 3x3x.
③ 3⋅2−3⋅0=63\cdot 2 - 3\cdot 0 = 6 → 6
예시 2. ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx
① 아래끝 1, 위끝 3.
② 2x2x를 되찾는 함수 x2x^2.
③ 32−12=83^2 - 1^2 = 8 → 8
예시 3. ∫02(1+x) dx\int_0^2 (1+x)\,dx
① 아래끝 0, 위끝 2.
② 11→xx, xx→x2/2x^2/2이므로 되찾는 함수 x+x2/2x + x^2/2.
③ (2+2)−(0+0)=4(2+2)-(0+0)=4 → 4
예시 4. ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2+C일 때 x=2x=2에서의 값?
① 부정적분 x2+Cx^2+C에 x=2x=2 대입.
② C=0C=0이면 22=42^2 = 4 → 4