Chapter 05
연속성
한 점에서 연속이란 극한값이 존재하고 그게 함숫값과 같을 때예요. 미분 가능성과 딥러닝의 활성화·손실 함수 이해의 기초가 됩니다.
챕터별 수학 도식화
챕터를 선택하면 아래 도식이 해당 챕터 내용으로 바뀌어요. 기초 수학 흐름을 한눈에 보세요.
왼쪽: 연속 — 곡선이 점 에서 끊기지 않고 이어져 있어요. 오른쪽: 불연속 — 같은 점에서 값이 뚫려 있거나 점프해요.
연속
lim = f(a)
불연속
f(a) 없음 또는 lim ≠ f(a)
연속이란 일 때예요. 그래프에서는 그 점에서 선이 끊기지 않고 이어져 있어요.
보는 순서
- 왼쪽 그래프: 는 에서 연속 (곡선이 (2, 4)를 지나며 끊김 없음).
- 오른쪽 그래프: 에서 함숫값이 없거나 극한과 다르면 불연속 (구멍 또는 점프).
연속성이란 무엇인가
연속이란 '가 에 가까워질 때 가 에 가까워지고, 그 극한값이 와 같을 때'를 말해요. 기호로 로 씁니다. 그래프에서 그 점에서 끊기지 않고 이어져 있다는 뜻이에요.
쉽게 말하면: ① 가 정의되어 있고, ② 가 존재하며, ③ 그 극한값이 와 같아야 해요. 셋 중 하나라도 어긋나면 그 점에서 불연속이에요.
ε-δ로 쓰면: 아무리 작은 오차 을 잡아도, 를 에 충분히 가깝게( 이내) 하면 가 와의 차이가 보다 작게 만들 수 있다는 말이에요. 극한 챕터의 ε-δ와 같은 논리인데, 여기서는 그 극한값이 바로 라는 점이 달라요.
미분 가능하면 연속이에요. 한 점에서 미분(순간 변화율)이 정의되려면, 그 점에서 함숫값이 있고 극한과 같아야 하니까요. 그래서 연속성은 미분을 배우기 전에 꼭 알아 두어야 해요.
딥러닝에서는 활성화 함수(ReLU, 시그모이드 등)와 손실 함수가 보통 연속이에요. 입력을 조금 바꿨을 때 출력이 급격히 튀지 않고 부드럽게 변해야 경사 하강법이 안정적으로 동작해요.
인공지능에서 손실 함수는 '예측이 정답에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지'를 재는데, 이게 연속이어야 작은 개선이 작은 손실 감소로 이어져요. 활성화 함수도 연속(또는 구간별 연속)이라서, 역전파로 기울기를 구할 때 계산이 잘 정의돼요.
연속인지 볼 때는 그 점에서 가 존재하는지, 가 정의되어 있는지, 둘이 같은지 세 가지를 확인해 보세요.
체크리스트: ① 존재 ② 존재 ③ 극한값 . 하나라도 어긋나면 그 점에서 불연속이에요.
예시 문제와 풀이를 표로 정리했어요.
| 문제 | 풀이 |
|---|---|
| 예시 1. 가 에서 연속인지 | 풀이: , , 같으므로 연속. |
| 예시 2. 가 에서 연속인지 | 풀이: 이 정의되지 않음 → 불연속. |
| 예시 3. 이 에서 연속인지 | 풀이: , , 같으므로 연속. |