Chapter 09

적분: 넓이와 누적, 확률로 가는 다리

적분은 미분의 역연산이에요. 곡선 아래 넓이\cdot누적량을 구하고, 확률\cdot기댓값을 다룰 때 씁니다.

챕터별 수학 도식화

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직사각형과 곡선 사이 빈 공간은 조각을 더 잘게 나눌수록 줄어들어, 극한으로 정확한 넓이(적분)가 됩니다.

정적분은 곡선 아래 넓이예요. 구간을 잘게 나눈 직사각형 넓이의 합으로 근사하고, 조각을 더 잘게 나누면 직사각형과 곡선 사이 빈 공간이 줄어들어 그 극한이 정적분이에요.

적분이란 무엇인가

적분(Integral)은 미분의 정반대 과정, 즉 역연산입니다. 미분이 빵을 아주 얇게 써는 것(변화율 구하기)이라면, 적분은 그 얇은 빵 조각들을 다시 하나로 모아 원래의 덩어리(넓이/총량)를 만드는 것입니다. 기호

\int

(인테그랄)은 합친다는 뜻의 'Sum'의 첫 글자 S를 길게 늘어뜨린 모양입니다. 미적분학의 기본정리는 '미분과 적분이 서로 역연산'이라는 이 관계를 엄밀히 증명한 것이에요. 덕분에 정적분을 계산할 때 극한을 직접 구하지 않고, 역도함수만 찾으면 됩니다.

곡선 아래의 넓이를 구하는 정교한 도구입니다. 삐뚤빼뚤한 곡선 아래의 면적을 구하고 싶을 때, 가로폭이 거의 0에 가까운 아주 얇은 직사각형들을 무한히 많이 더해서 정확한 넓이를 계산해냅니다. 수학적으로는 누적된 변화의 총합을 의미합니다.

정적분(Definite Integral)은 시작점(

a

)과 끝점(

b

)이 정해진 적분입니다. 계산할 때는 '미분해서 해당 식이 되는 함수(F, 역도함수)'를 먼저 찾습니다. 그다음 도착점의 값

F(b)

에서 시작점의 값

F(a)

를 빼서 최종 결과물(면적이나 누적량)을 구합니다. 즉, '나중 상태 - 처음 상태'를 통해 그동안 쌓인 양을 알아내는 것입니다.

일상의 누적량을 계산하는 데 필수적입니다. 자동차의 속도(

v

)는 매 순간 변하지만, 이를 시간(

t

)에 대해 적분하면 우리가 이동한 총 거리가 나옵니다. 수도꼭지에서 나오는 물의 세기를 적분하면 욕조에 담긴 물의 총량이 되듯, 변화하는 값을 모아 결과를 낼 때 적분을 사용합니다.

연속 확률 분포를 이해하는 열쇠입니다. 키, 몸무게처럼 연속적인 데이터에서 '키가 170~180cm 사이일 확률'을 구하려면 확률 밀도 곡선 아래의 해당 구간 넓이를 적분해야 합니다. 즉, 적분값이 곧 그 사건이 일어날 확률이 됩니다.

인공지능의 의사결정 기반이 됩니다. AI가 불확실한 상황에서 어떤 선택을 할 때, 가능한 모든 결과에 확률을 곱해 합산한 기댓값(Expectation)을 계산합니다. 이 기댓값을 구하는 수학적 과정이 바로 적분입니다. 생성 모델(VAE, Diffusion)이나 강화학습에서 에이전트가 얻을 누적 보상을 계산할 때 적분 없이는 한 걸음도 나아갈 수 없습니다.

물리학에서는 에너지와 일의 양을 계산할 때 씁니다. 힘을 거리에 따라 적분하면 한 일의 양이 되고, 가속도를 적분해 속도를, 속도를 적분해 위치를 알아내며 우주선의 궤적이나 물체의 움직임을 예측합니다.

경제학에서는 시간에 따른 총 수요나 총 공급량을 파악하고, 소비자 잉여와 생산자 잉여를 계산하여 시장의 효율성을 분석할 때 적분을 사용합니다.

AI 성능 평가와 최적화: 모델의 성능을 측정하는 지표 중 하나인 AUC(Area Under Curve)는 그래프 아래의 넓이(적분값)를 의미합니다. 또한, 확률 모델이 전체 확률의 합을 1로 맞추는 정규화(Normalization) 과정에서도 전체 구간에 대한 적분이 필수적으로 일어납니다. 복잡한 신경망 내부에서 데이터의 흐름을 확률적으로 다루는 모든 순간에 적분의 원리가 숨어 있습니다.

정적분은 ① 위끝·아래끝 확인 →

② ‘되찾는 함수’ 찾기 →

③ (위끝 대입값) − (아래끝 대입값) 순서로 구해요.

‘역도함수’가 무엇인가요? — 적분 기호 안에 있는 식을 미분하기 전 모습으로 되찾은 함수입니다. 예를 들어,

2x

를 미분하면

2

가 되므로,

2

를 적분하면

2x

가 됩니다. 즉, $2$ 의 역도함수는 $2x$ 입니다. 계산을 위해 대입할 '원래의 식'을 찾는다고 생각하면 쉽습니다.

1단계: 위끝·아래끝 확인 —

\int_a^b f(x)\,dx

에서

a

가 아래끝(시작),

b

가 위끝(끝)이에요. 문제에

\int_1^3

처럼 적혀 있으면 1에서 시작해서 3에서 끝난다는 뜻입니다.

2단계: 되찾는 함수(역도함수) 찾기 — 식을 미분 전으로 되돌립니다. 자주 쓰는 규칙:

x^n

은 차수를 하나 올리고 그 수로 나눕니다 (예:

x^2 \to x^3/3

x^3 \to x^4/4

). 상수는 뒤에

x

를 붙입니다 (예:

5 \to 5x

e^x

는 그대로

e^x

입니다. (미분해도 자기 자신이니까요.) 여러 항을 더한 식은 각 항마다 따로 역도함수를 구한 뒤 합치면 됩니다.

3단계: 대입해서 빼기 — 찾은 식에 위끝을 대입한 값에서 아래끝을 대입한 값을 뺍니다.

F(b)-F(a)

가 최종 정답입니다.

검산 — 내가 찾은 역도함수를 미분했을 때 다시 적분 기호 안의 원래 식이 나오는지 확인해 보세요. 뺄셈 순서는 반드시 (위끝) - (아래끝)입니다.

'부정적분'이란? — 구간이 정해지지 않은 적분입니다. 이때는 값을 구하는 게 아니라 '되찾은 함수'에 적분상수 $C$ 를 붙여 표현합니다. 예:

\int 2x\,dx = x^2 + C

C

는 어떤 숫자든 될 수 있다는 뜻입니다.

함숫값 대입 문제 — 부정적분 식이 주어지고 "

x=2

일 때의 값을 구하라"고 하면, 그 식의

x

자리에 2를 대입하면 됩니다. (보통

C=0

으로 가정하거나

C

값을 줍니다.)

실전 예제로 적분 계산을 정복해 보세요.

예시 1.

\int_0^2 3\,dx

① 시작 0, 끝 2.

②

3

의 역도함수는

3x

③

(3 \times 2) - (3 \times 0) = 6

. 답 6.

예시 2.

\int_1^3 2x\,dx

① 시작 1, 끝 3.

②

2x

의 역도함수는

x^2

③

3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8

. 답 8.

예시 3.

\int_0^2 (1+x)\,dx

① 시작 0, 끝 2.

② 역도함수는

x + x^2/2

③

(2 + 2^2/2) - (0 + 0) = 4

. 답 4.

예시 4.

\int 2x\,dx = x^2+C

일 때

x=2

에서의 값은?

①

x^2+C

에 2를 대입.

②

2^2 = 4

. (

C=0

가정 시) 답 4.

문제 유형별 풀이

유형 $상수 정적분$
설명 $\int_a^b c\,dx$
답 구하는 법 $cx$

유형 $일차식 정적분$
설명 $\int_a^b (mx+k)\,dx$
답 구하는 법 $\frac{m}{2}x^2 + kx$

유형 $역도함수 값$
설명 $x=k$
답 구하는 법 $k$

유형	설명	답 구하는 법
상수 정적분	$\int_a^b c\,dx$	역도함수 $cx$ . (위끝 대입) − (아래끝 대입) = $c(b-a)$ .
일차식 정적분	$\int_a^b (mx+k)\,dx$	역도함수 $\frac{m}{2}x^2 + kx$ . $F(b)-F(a)$ 계산.
역도함수 값	부정적분 식이 주어지고 $x=k$ 에서의 값	해당 식에 $k$ 대입. ( $C=0$ 이면 $F(k)$ .)

예시 (상수 정적분)

\int_0^2 3\,dx

를 구하세요.

풀이

역도함수는

3x

(3\times 2)-(3\times 0)=6

. → 정답 6

예시 (일차식 정적분)

\int_1^3 2x\,dx

를 구하세요.

풀이

역도함수는

x^2

3^2-1^2=9-1=8

. → 정답 8

예시 (역도함수 값)

\int 2x\,dx = x^2+C

일 때

x=2

에서의 값을 구하세요. (

C=0

)

풀이

x^2

에

2

대입 →

4

. → 정답 4

적분이란 무엇인가

\int

정적분(Definite Integral)은 시작점(

a

)과 끝점(

b

)이 정해진 적분입니다. 계산할 때는 '미분해서 해당 식이 되는 함수(F, 역도함수)'를 먼저 찾습니다. 그다음 도착점의 값

F(b)

에서 시작점의 값

F(a)

를 빼서 최종 결과물(면적이나 누적량)을 구합니다. 즉, '나중 상태 - 처음 상태'를 통해 그동안 쌓인 양을 알아내는 것입니다.

일상의 누적량을 계산하는 데 필수적입니다. 자동차의 속도(

v

)는 매 순간 변하지만, 이를 시간(

t

정적분은 ① 위끝·아래끝 확인 →

② ‘되찾는 함수’ 찾기 →

③ (위끝 대입값) − (아래끝 대입값) 순서로 구해요.

‘역도함수’가 무엇인가요? — 적분 기호 안에 있는 식을 미분하기 전 모습으로 되찾은 함수입니다. 예를 들어,

2x

를 미분하면

2

가 되므로,

2

를 적분하면

2x

가 됩니다. 즉, $2$ 의 역도함수는 $2x$ 입니다. 계산을 위해 대입할 '원래의 식'을 찾는다고 생각하면 쉽습니다.

1단계: 위끝·아래끝 확인 —

\int_a^b f(x)\,dx

에서

a

가 아래끝(시작),

b

가 위끝(끝)이에요. 문제에

\int_1^3

처럼 적혀 있으면 1에서 시작해서 3에서 끝난다는 뜻입니다.

2단계: 되찾는 함수(역도함수) 찾기 — 식을 미분 전으로 되돌립니다. 자주 쓰는 규칙:

x^n

은 차수를 하나 올리고 그 수로 나눕니다 (예:

x^2 \to x^3/3

x^3 \to x^4/4

). 상수는 뒤에

x

를 붙입니다 (예:

5 \to 5x

e^x

는 그대로

e^x

입니다. (미분해도 자기 자신이니까요.) 여러 항을 더한 식은 각 항마다 따로 역도함수를 구한 뒤 합치면 됩니다.

3단계: 대입해서 빼기 — 찾은 식에 위끝을 대입한 값에서 아래끝을 대입한 값을 뺍니다.

F(b)-F(a)

가 최종 정답입니다.

검산 — 내가 찾은 역도함수를 미분했을 때 다시 적분 기호 안의 원래 식이 나오는지 확인해 보세요. 뺄셈 순서는 반드시 (위끝) - (아래끝)입니다.

'부정적분'이란? — 구간이 정해지지 않은 적분입니다. 이때는 값을 구하는 게 아니라 '되찾은 함수'에 적분상수 $C$ 를 붙여 표현합니다. 예:

\int 2x\,dx = x^2 + C

C

는 어떤 숫자든 될 수 있다는 뜻입니다.

함숫값 대입 문제 — 부정적분 식이 주어지고 "

x=2

일 때의 값을 구하라"고 하면, 그 식의

x

자리에 2를 대입하면 됩니다. (보통

C=0

으로 가정하거나

C

값을 줍니다.)

실전 예제로 적분 계산을 정복해 보세요.

예시 1.

\int_0^2 3\,dx

① 시작 0, 끝 2.

②

3

의 역도함수는

3x

③

(3 \times 2) - (3 \times 0) = 6

. 답 6.

예시 2.

\int_1^3 2x\,dx

① 시작 1, 끝 3.

②

2x

의 역도함수는

x^2

③

3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8

. 답 8.

예시 3.

\int_0^2 (1+x)\,dx

① 시작 0, 끝 2.

② 역도함수는

x + x^2/2

③

(2 + 2^2/2) - (0 + 0) = 4

. 답 4.

예시 4.

\int 2x\,dx = x^2+C

일 때

x=2

에서의 값은?

①

x^2+C

에 2를 대입.

②

2^2 = 4

. (

C=0

가정 시) 답 4.

문제 유형별 풀이

유형 $상수 정적분$
설명 $\int_a^b c\,dx$
답 구하는 법 $cx$

유형 $일차식 정적분$
설명 $\int_a^b (mx+k)\,dx$
답 구하는 법 $\frac{m}{2}x^2 + kx$

유형 $역도함수 값$
설명 $x=k$
답 구하는 법 $k$

유형	설명	답 구하는 법
상수 정적분	$\int_a^b c\,dx$	역도함수 $cx$ . (위끝 대입) − (아래끝 대입) = $c(b-a)$ .
일차식 정적분	$\int_a^b (mx+k)\,dx$	역도함수 $\frac{m}{2}x^2 + kx$ . $F(b)-F(a)$ 계산.
역도함수 값	부정적분 식이 주어지고 $x=k$ 에서의 값	해당 식에 $k$ 대입. ( $C=0$ 이면 $F(k)$ .)

예시 (상수 정적분)

\int_0^2 3\,dx

를 구하세요.

풀이

역도함수는

3x

(3\times 2)-(3\times 0)=6

. → 정답 6

예시 (일차식 정적분)

\int_1^3 2x\,dx

를 구하세요.

풀이

역도함수는

x^2

3^2-1^2=9-1=8

. → 정답 8

예시 (역도함수 값)

\int 2x\,dx = x^2+C

일 때

x=2

에서의 값을 구하세요. (

C=0

)

풀이

x^2

에

2

대입 →

4

. → 정답 4