Chapter 13

三角函数：把角与边比关系定义为函数 (sin, cos, tan)

三角函数 可以理解为一把“角度到比值”的尺子：角度变化时，边长比如何变化。它非常适合描述钟表、季节等 周期现象 ，也是波动分析、信号处理，以及AI中的 位置编码 的重要基础。

在单位圆中旋转角 $\theta$ 时，点坐标按 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 变化。

sin θ：竖直高度

sin(θ) = -0.87

cos θ：水平长度

cos(θ) = 0.50

tan θ：斜率比

tan(θ) = -1.73

当前 θ：sinθ = -0.87cosθ = 0.50tanθ = -1.73

核心关系： tanθ = sinθ / cosθ (cosθ ≠ 0)

以单位圆为基准，水平投影是 $\cos\theta$ ，垂直投影是 $\sin\theta$ ，斜率比是 $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 。

先构造角 $\theta$ ，再定位圆上点 $P$ 。
点 $P$ 的 x 坐标是 $\cos\theta$ ，y 坐标是 $\sin\theta$ 。
当 $\cos\theta\neq0$ 时，用 $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$ 读取斜率。

什么是三角函数

概念：在直角三角形中，三角函数把角度

\theta

映射为边长比。公式为

\sin\theta=\frac{\text{高}}{\text{斜边}}

、

\cos\theta=\frac{\text{底}}{\text{斜边}}

、

\tan\theta=\frac{\text{高}}{\text{底}}

。

直觉（摩天轮类比）：把半径为1的单位圆想成摩天轮。转过角度

\theta

后，位置就是

(\cos\theta,\sin\theta)

。也就是：

\cos\theta

表示左右位置，

\sin\theta

表示上下位置。

数学说明：单位圆方程是

x^2+y^2=1

。代入

(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)

，得到核心恒等式

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

。又因为斜率是“升高/水平位移”，所以

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

。

实战连接：很多真实数据有周期性（一天24小时、一年四季、方向角度）。与其直接输入线性数字，不如用三角函数编码成圆形连续特征。对初学者，先用 24小时=360度 转换，再连接到

\theta=2\pi\cdot\frac{t}{T}

更容易。

它能有效解决周期边界问题。比如 23 点和 0 点时间上很近，但线性数字上很远；用

\sin/\cos

编码后可保持“圆周上相邻”的关系。

它是 Transformer 位置编码的重要基础：通过不同频率的

\sin

\cos

组合，让模型感知顺序。

它是波动与频率建模的核心语言，是时序与信号类AI任务的基础能力。

把时间/角度先转成弧度，再构造

(\sin\theta,\cos\theta)

成对特征作为输入。

对星期、季节、风向等循环变量做三角编码，避免边界不连续。

??????cosine similarity??????????????????

\mathbf{a},\mathbf{b}

?????

\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}

?????????????????

\cos\theta\approx1

?????

0

?????

-1

??????????????RAG ?????????????????????????????

??????????

$\cos(\theta)=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}$

??????????cos ???? 1?

???????? 0.50 · ?????

本题组会尽量减少题型重复，因此先判断题型。推荐顺序：(1) 题型识别（坐标/符号/周期/恒等式/ML编码）→

(2) 选择单位圆坐标

(\cos\theta,\sin\theta)

或公式 →

(3) 计算并检查符号。

和 Chapter 04 一样，要从定义出发逐步收敛。实际出题通常按 简单（坐标/符号）→ 中等（周期/坐标和/恒等式）→ 困难（ML编码/组合型） 排列。时间题先做 24小时=360度 转换，比直接算

\pi

更稳妥。

下面用表格给出示例题与分步解法。

题目 $\theta=180^\circ$
解法 $(-1,0)$

题目 $y=\cos(6x)$
解法 $\frac{360}{k}$

题目 $hour=18$
解法 $24\text{小时}=360^\circ$

题目	解法
示例1（简单）单位圆中 $\theta=180^\circ$ 时 y 坐标是多少？	点为 $(-1,0)$ ，所以 y 坐标是 $0$ ，即 $\sin\theta=0$ 。
示例2（中等） $y=\cos(6x)$ 的周期（角度制）是多少？	用公式 $\frac{360}{k}$ ，其中 $k=6$ ，所以 $\frac{360}{6}=60$ 。
示例3（困难）当 $hour=18$ 时， $\sin(2\pi\cdot hour/24)$ 等于多少？	$24\text{小时}=360^\circ$ ，因此 $18\text{小时}=270^\circ$ ，所以 $\sin270^\circ=-1$ 。

按题型解题

题型 $单位圆坐标题$
说明 $x+y$
求解方法 $x=\cos\theta$

题型 $象限符号题$
说明 $判断函数值正负$
求解方法 $\sin$

题型 $周期计算题$
说明 $y=\sin(kx), y=\cos(kx)$
求解方法 $\frac{360}{k}$

题型 $恒等式/组合题$
说明 $\sin^2\theta+\cos^2\theta$
求解方法 $先用基本恒等式，再代入计算$

题型 $ML应用题（入门）$
说明 $时间/方向编码$
求解方法 $\theta=2\pi\cdot\frac{t}{T}$

题型	说明	求解方法
单位圆坐标题	询问 x、y 或 $x+y$	先找标准角位置，再读 $x=\cos\theta$ 、 $y=\sin\theta$
象限符号题	判断函数值正负	先看象限中 x,y 的符号，再推 $\sin$ 、 $\cos$ 、 $\tan=\frac{y}{x}$ 的符号
周期计算题	$y=\sin(kx), y=\cos(kx)$	角度制周期为 $\frac{360}{k}$
恒等式/组合题	$\sin^2\theta+\cos^2\theta$ 、和/比	先用基本恒等式，再代入计算
ML应用题（入门）	时间/方向编码	先做 24小时=360度转换，再连接 $\theta=2\pi\cdot\frac{t}{T}$

示例（单位圆坐标题）

在单位圆中，

\theta=270^\circ

时求

x+y

。

解法

270^\circ

对应点是

(0,-1)

x+y=0+(-1)=-1

所以答案是 -1。

示例（象限符号题）

第2象限中，

\tan\theta

的符号是什么？

解法

1) 第2象限：

\sin\theta>0

，

\cos\theta<0

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}<0

所以答案是负号。

示例（周期计算题）

求

y=\sin(8x)

的周期（角度制）。

解法

1) 周期公式：

\frac{360}{k}

k=8

，所以

\frac{360}{8}=45

所以答案是 45。

示例（ML应用题，不直接算 $\pi$ ）

当

hour=6

时，把一天24小时映射为360度，角度是多少？

\sin\theta

是多少？

解法

1) 24小时 = 360度，所以 1小时 = 15度

2) 6小时是

6\times15=90^\circ

\sin90^\circ=1

所以答案是 1。

（等价写法：

\theta=2\pi\cdot\frac{6}{24}=\frac{\pi}{2}

。）

什么是三角函数

概念：在直角三角形中，三角函数把角度

\theta

映射为边长比。公式为

\sin\theta=\frac{\text{高}}{\text{斜边}}

、

\cos\theta=\frac{\text{底}}{\text{斜边}}

、

\tan\theta=\frac{\text{高}}{\text{底}}

。

直觉（摩天轮类比）：把半径为1的单位圆想成摩天轮。转过角度

\theta

后，位置就是

(\cos\theta,\sin\theta)

。也就是：

\cos\theta

表示左右位置，

\sin\theta

表示上下位置。

数学说明：单位圆方程是

x^2+y^2=1

。代入

(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)

，得到核心恒等式

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

。又因为斜率是“升高/水平位移”，所以

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}

。

\theta=2\pi\cdot\frac{t}{T}

更容易。

它能有效解决周期边界问题。比如 23 点和 0 点时间上很近，但线性数字上很远；用

\sin/\cos

编码后可保持“圆周上相邻”的关系。

它是 Transformer 位置编码的重要基础：通过不同频率的

\sin

\cos

组合，让模型感知顺序。

它是波动与频率建模的核心语言，是时序与信号类AI任务的基础能力。

把时间/角度先转成弧度，再构造

(\sin\theta,\cos\theta)

成对特征作为输入。

对星期、季节、风向等循环变量做三角编码，避免边界不连续。

??????cosine similarity??????????????????

\mathbf{a},\mathbf{b}

?????

\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}

?????????????????

\cos\theta\approx1

?????

0

?????

-1

??????????????RAG ?????????????????????????????

??????????

$\cos(\theta)=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}$

??????????cos ???? 1?

???????? 0.50 · ?????

本题组会尽量减少题型重复，因此先判断题型。推荐顺序：(1) 题型识别（坐标/符号/周期/恒等式/ML编码）→

(2) 选择单位圆坐标

(\cos\theta,\sin\theta)

或公式 →

(3) 计算并检查符号。

\pi

更稳妥。

下面用表格给出示例题与分步解法。

题目 $\theta=180^\circ$
解法 $(-1,0)$

题目 $y=\cos(6x)$
解法 $\frac{360}{k}$

题目 $hour=18$
解法 $24\text{小时}=360^\circ$

题目	解法
示例1（简单）单位圆中 $\theta=180^\circ$ 时 y 坐标是多少？	点为 $(-1,0)$ ，所以 y 坐标是 $0$ ，即 $\sin\theta=0$ 。
示例2（中等） $y=\cos(6x)$ 的周期（角度制）是多少？	用公式 $\frac{360}{k}$ ，其中 $k=6$ ，所以 $\frac{360}{6}=60$ 。
示例3（困难）当 $hour=18$ 时， $\sin(2\pi\cdot hour/24)$ 等于多少？	$24\text{小时}=360^\circ$ ，因此 $18\text{小时}=270^\circ$ ，所以 $\sin270^\circ=-1$ 。

按题型解题

题型 $单位圆坐标题$
说明 $x+y$
求解方法 $x=\cos\theta$

题型 $象限符号题$
说明 $判断函数值正负$
求解方法 $\sin$

题型 $周期计算题$
说明 $y=\sin(kx), y=\cos(kx)$
求解方法 $\frac{360}{k}$

题型 $恒等式/组合题$
说明 $\sin^2\theta+\cos^2\theta$
求解方法 $先用基本恒等式，再代入计算$

题型 $ML应用题（入门）$
说明 $时间/方向编码$
求解方法 $\theta=2\pi\cdot\frac{t}{T}$

题型	说明	求解方法
单位圆坐标题	询问 x、y 或 $x+y$	先找标准角位置，再读 $x=\cos\theta$ 、 $y=\sin\theta$
象限符号题	判断函数值正负	先看象限中 x,y 的符号，再推 $\sin$ 、 $\cos$ 、 $\tan=\frac{y}{x}$ 的符号
周期计算题	$y=\sin(kx), y=\cos(kx)$	角度制周期为 $\frac{360}{k}$
恒等式/组合题	$\sin^2\theta+\cos^2\theta$ 、和/比	先用基本恒等式，再代入计算
ML应用题（入门）	时间/方向编码	先做 24小时=360度转换，再连接 $\theta=2\pi\cdot\frac{t}{T}$

示例（单位圆坐标题）

在单位圆中，

\theta=270^\circ

时求

x+y

。

解法

270^\circ

对应点是

(0,-1)

x+y=0+(-1)=-1

所以答案是 -1。

示例（象限符号题）

第2象限中，

\tan\theta

的符号是什么？

解法

1) 第2象限：

\sin\theta>0

，

\cos\theta<0

\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}<0

所以答案是负号。

示例（周期计算题）

求

y=\sin(8x)

的周期（角度制）。

解法

1) 周期公式：

\frac{360}{k}

k=8

，所以

\frac{360}{8}=45

所以答案是 45。

示例（ML应用题，不直接算 $\pi$ ）

当

hour=6

时，把一天24小时映射为360度，角度是多少？

\sin\theta

是多少？

解法

1) 24小时 = 360度，所以 1小时 = 15度

2) 6小时是

6\times15=90^\circ

\sin90^\circ=1

所以答案是 1。

（等价写法：

\theta=2\pi\cdot\frac{6}{24}=\frac{\pi}{2}

。）