Chapter 01

函数：连接输入与输出的AI基本单元

函数是「一个输入对应一个输出」的规则。人工智能把输入变成输出的方式，也直接对应这一函数概念。

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输入

x

进去就确定一个输出

y

的规则。下图表示

x

→

f

→

y

的流程。

例：

x=3

时，

f(x)=2x+1

得 7

什么是函数

函数是两个集合之间的严格对应（映射）。作为输入的定义域的每个元素，必须与作为输出的值域中的元素一一对应。就像自动售货机按一个键却不出饮料或出两瓶就是坏了，函数也要求一个输入恰好对应一个输出。

数学上写成

y = f(x)

。

x

是自变量（原因），

y

是因变量（结果）。从 AI 角度看，

x

是我们提供的数据（图像像素、句子、传感器值），

y

是 AI 算出的预测（是否猫、下一个词、股价预测）。函数

f

就是把数据变成答案的转换器。

AI 模型本身就是巨大的复合函数。输入数据经过第一个函数（层）被变换，结果再进入下一个函数（层），如此重复几十次。就像数学里

y = f(g(h(x)))

这样把函数叠在一起，深度学习把大量函数一层层叠起来，从复杂数据中读出模式。

因为能建模现实。「多读书成绩就好」这种模糊关系用一次函数

y = ax + b

表示后，就能根据学习时间（

x

）算预期成绩（

y

）。AI 则用函数去近似更复杂的非线性关系（如图像与物体名），从而解决问题。

因为它是优化的对象。AI 训练的目标是让正确答案与预测之间的误差最小。这个误差本身由损失函数这个函数计算，要找它的最小值就要用微分。若不用函数定义，训练 AI 就没有数学依据。

因为它是描述变化的语言。要知道输入略变时输出变多少（斜率），才能让 AI 一步步朝正确答案走。函数把输入和输出的因果关系用式子写清楚，我们才能分析 AI 为何那样判断。

AI 中每个神经元都是一个小函数：对输入信号（

x

）乘权重（

w

）加偏置（

wx+b

），再经激活函数送到下一层。ReLU、Sigmoid 等函数决定是否「点火」，这些小块函数组合起来像人脑一样做复杂判断。

用于数据变换。对人来说是一张图，对计算机是一堆数字（

x

）。AI 把这些数送进函数，做降维或升维，只保留「耳朵形状」「眼睛形状」等关键特征（

y

），即高维向量到低维空间的函数运算。

用于概率计算。分类最后一层的 Softmax 把模型输出的原始分数变成「和为 1 的概率」，AI 才能说「这张图 90% 是狗」。函数把原始数据加工成我们能理解的信息。

函数 $f(x)=x+1$
例（输入 → 输出） $3 \to 4，10 \to 11$

函数 $g(x)=2x$
例（输入 → 输出） $3 \to 6，10 \to 20$

函数 $h(x)=x^2$
例（输入 → 输出） $-2$

函数	例（输入 → 输出）
$f(x)=x+1$	3 → 4，10 → 11
$g(x)=2x$	3 → 6，10 → 20
$h(x)=x^2$	3 → 9， $-2$ → 4

如下图所示

f(x) = 2x + 1

在 x = 3 时为 7，x = 10 时为 21。请在题目中填空白。