Chapter 01
함수: 입력과 출력을 잇는 AI의 기본 단위
함수는 입력 하나에 출력 하나가 대응되는 규칙입니다. 인공지능이 입력을 출력으로 바꾸는 방식도 이 함수 개념과 직접 이어져요.
챕터별 수학 도식화
챕터를 선택하면 아래 도식이 해당 챕터 내용으로 바뀌어요. 기초 수학 흐름을 한눈에 보세요.
입력 를 넣으면 출력 가 하나로 정해지는 규칙이에요. 아래는 → → 흐름을 보여 줍니다.
예: 이면 에서 7
함수란 무엇인가
함수(Function)는 두 집합 사이의 엄격한 대응 관계(Mapping)입니다. 입력값들의 집합인 정의역(Domain)의 모든 원소가, 출력값들의 집합인 공역(Codomain)의 원소에 오직 하나씩 연결되어야 합니다. 자판기 버튼을 눌렀는데 음료수가 안 나오거나 두 개가 동시에 나오면 고장이듯, 함수도 하나의 입력엔 반드시 하나의 출력이 있어야 합니다.
수학적으로 라고 씁니다. 여기서 는 독립변수(원인), 는 종속변수(결과)입니다. AI 관점에서 보면 는 우리가 제공하는 데이터(이미지 픽셀, 문장, 센서 값)이고, 는 AI가 계산해 낸 예측값(고양이 여부, 다음 단어, 주가 예측)입니다. 함수 는 이 데이터들을 정답으로 바꿔주는 변환기(Transformer) 역할을 합니다.
인공지능 모델 그 자체가 거대한 합성함수입니다. 입력 데이터가 첫 번째 함수(층)를 통과해 변환되고, 그 결과가 다시 다음 함수(층)로 들어가는 과정이 수십 번 반복됩니다. 수학에서 처럼 함수를 겹쳐 쓰듯, 딥러닝은 수많은 함수를 층층이 쌓아 복잡한 데이터의 패턴을 읽어냅니다.
현실 세계를 모델링(Modeling)할 수 있기 때문입니다. '공부를 많이 하면 성적이 오른다'는 막연한 관계를 라는 일차함수로 표현하면, 우리는 공부 시간()에 따른 예상 성적()을 정확히 계산할 수 있습니다. AI는 이보다 훨씬 복잡한 비선형 관계(이미지와 물체 이름 등)를 함수로 근사(Approximation)하여 문제를 해결합니다.
최적화(Optimization)의 대상이 됩니다. AI 학습의 목표는 정답과 예측값 사이의 오차를 최소화하는 것입니다. 이 오차를 계산하는 것도 손실 함수(Loss Function)라는 함수이고, 이 함수의 최솟값을 찾기 위해 미분을 사용합니다. 즉, 함수로 정의되지 않으면 AI를 학습시킬 수학적 근거가 사라집니다.
변화(Change)를 다루는 언어입니다. 입력이 조금 변할 때 출력이 얼마나 변하는지(기울기)를 알아야 AI가 정답을 향해 조금씩 나아갈 수 있습니다. 함수는 입력과 출력의 인과관계를 수학식으로 명확히 보여주기 때문에, 우리는 AI가 어떤 근거로 그런 판단을 내렸는지 분석할 수 있게 됩니다.
인공지능의 모든 뉴런은 작은 함수입니다. 입력 신호()들에 가중치()를 곱해 더한 뒤(), 활성화 함수(Activation Function)를 통과시켜 다음 뉴런으로 보냅니다. 이때 ReLU나 Sigmoid 같은 함수들이 신호를 켤지 말지 결정하며, 이런 작은 함수들이 모여 인간의 뇌처럼 복잡한 판단을 내립니다.
데이터 변환(Transformation)에 쓰입니다. 우리가 보는 사진은 컴퓨터에게 그저 수만 개의 숫자() 덩어리입니다. AI는 이 숫자들을 함수에 통과시켜 차원을 줄이거나 늘리며, '귀 모양', '눈 모양' 같은 핵심 특징()만 남깁니다. 이것은 수학적으로 고차원 벡터를 저차원 공간으로 매핑하는 함수 연산입니다.
확률(Probability)을 계산합니다. 분류 문제의 마지막 단계에서 사용하는 소프트맥스(Softmax) 함수는, AI가 뱉어낸 무작위 숫자들을 '합이 1인 확률'로 바꿔줍니다. 덕분에 AI는 "이 사진은 90% 확률로 강아지입니다"라고 말할 수 있게 됩니다. 이처럼 함수는 날것의 데이터를 우리가 이해할 수 있는 정보로 가공해 줍니다.
- 함수
- 예시 (입력 → 출력)3 → 4, 10 → 11
- 함수
- 예시 (입력 → 출력)3 → 6, 10 → 20
- 함수
- 예시 (입력 → 출력)3 → 9, → 4
| 함수 | 예시 (입력 → 출력) |
|---|---|
| 3 → 4, 10 → 11 | |
| 3 → 6, 10 → 20 | |
| 3 → 9, → 4 |
아래 비주얼처럼 에 을 넣으면 7, 을 넣으면 21이 나와요. 문제에서 빈 칸을 채워 보세요.