Ch.07

固有値と固有ベクトル：変換で変わらない中心軸

チャプター別数学図

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固有値と固有ベクトル: 変わっても向きが残る軸

固有ベクトル は行列を掛けても 同じ直線 の上にとどまる向きです（長さだけが伸び縮み、場合により反転）。その直線上での 伸び縮みの倍率 が 固有値 です。

行列 / Matrix

固有値 / Eigenvalue

A

固有ベクトル / Eigenvector

茶色の丸 は 変換のルール 。 ミントの丸 はその直線上の 長さの倍率 。 赤い下線 は等号の左右が 同じ向き であることを示します。 曲線矢印 はラベルと式の対応を示します。

洗濯機で衣類が回る様子を想像してください。水は渦を巻き、布は絡み合い、 動きの向きは折れ曲がり ます。行列が空間を変換するときも似ていて、多くのベクトルは 元の直線から外れて 向きが変わります。 それでも槽の中心の 回転軸 は、激しく回っても 同じ直線の上 にいます。数学でも 同じ直線に留まり 、長さだけが伸び縮みする方向が 固有ベクトル 、その倍率が 固有値 です。本章では、ごちゃごちゃ見えるデータの中からその 安定した軸 を見つけ、そこから整理して理解します。

固有値と固有ベクトル: 変わっても向きが残る軸

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

2. 固有値 — その直線上での伸び縮み 固有ベクトルでは、変換のあと長さが 何倍 になるかが 固有値 です。 1より大きければ 伸び、 0と1のあいだ なら縮み、 負 なら同じ直線上で 反対向き に見えます。

3. 特性方程式 — 固有値を求める定番の式 特性方程式 を立てて候補を求めます。イメージは「候補を入れたときに 空間がつぶれて 、広がりの指標がゼロになるか」を見ることです。そのあと出てくる向きが固有ベクトルの候補です。

4. 対角化 — 絡み合いを軸ごとの倍率に 独立な固有方向が十分あれば、変換を 軸ごとに数字だけを掛ける 形に書き直せます。つまり「軸同士が混ざらず 倍率だけ 」と読みやすくなります。

\det(A)

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

固有値と固有ベクトルは、 いろいろな方向が混ざっているとき に「いちばん意味のある軸」を見つける手がかりになります。 次元がとても大きいデータでは、向きによって 変化の大きさ が違います。 共分散行列の固有ベクトル は「データがいちばん広がる方向」を示し、固有値はその広がりの大きさを表します。

同じ行列を何度も掛ける ようなモデル（天気・市場・ランキングなど）では、固有値を見るだけでも 発散するか・消えるか・落ち着くか の雰囲気をつかみやすくなります。

1. PCA と次元圧縮（大事な向きを探す） 顔写真のようにピクセルが多くても、 全部が同じ重要度ではありません。 共分散行列の固有ベクトルを使うと、 最大固有値 の向きが目や輪郭など「よく動く部分」に近いことが多く、少数の向きだけ残して次元を小さくできます。

2. PageRank — リンクと安定スコア ページ同士のリンクから行列を作り、「ランダムにクリックし続けたらどこに集まるか」を求めると、大づかみに 安定したスコアの形 (同じルールをもう一度かけても 変わらない)を求めるのと同じ型です。 3. 深層学習と安定性（勾配の暴れ） RNN のように 同じ変換を何度も 繰り返すと、固有値の 大きさが1より十分大きい と値が 暴れ 、 みな1より小さい と 消えていく 恐れがあります。学習が続くよう 1の近く に収める工夫が大切です。

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

例

例1 定義 「同じ直線」の 倍率 と 向き を何という? \to 固有値 と 固有ベクトル 。 例2 正誤 相似な行列は特性多項式が等しい。\to 正 。 例3 対角 対角が 3 と 2 の2\times2行列の固有値は? \to 3と2 。 例4 繰り返し 倍率がλのとき 同じ変換を三回 すると? \to λを三回かけた倍率 。 例5 和\cdot積 固有値が 1 と 4 ならトレースと行列式は? \to 和5・積4 。 例6 PCA 共分散で最大の固有値の向きは? \to 分散が最大の主方向 。

演習

\mathbb{R}^2

1 / 10

固有値と固有ベクトル: 変わっても向きが残る軸

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

2. 固有値 — その直線上での伸び縮み 固有ベクトルでは、変換のあと長さが 何倍 になるかが 固有値 です。 1より大きければ 伸び、 0と1のあいだ なら縮み、 負 なら同じ直線上で 反対向き に見えます。

3. 特性方程式 — 固有値を求める定番の式 特性方程式 を立てて候補を求めます。イメージは「候補を入れたときに 空間がつぶれて 、広がりの指標がゼロになるか」を見ることです。そのあと出てくる向きが固有ベクトルの候補です。

4. 対角化 — 絡み合いを軸ごとの倍率に 独立な固有方向が十分あれば、変換を 軸ごとに数字だけを掛ける 形に書き直せます。つまり「軸同士が混ざらず 倍率だけ 」と読みやすくなります。

\det(A)

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

固有値と固有ベクトルは、 いろいろな方向が混ざっているとき に「いちばん意味のある軸」を見つける手がかりになります。 次元がとても大きいデータでは、向きによって 変化の大きさ が違います。 共分散行列の固有ベクトル は「データがいちばん広がる方向」を示し、固有値はその広がりの大きさを表します。

同じ行列を何度も掛ける ようなモデル（天気・市場・ランキングなど）では、固有値を見るだけでも 発散するか・消えるか・落ち着くか の雰囲気をつかみやすくなります。

1. PCA と次元圧縮（大事な向きを探す） 顔写真のようにピクセルが多くても、 全部が同じ重要度ではありません。 共分散行列の固有ベクトルを使うと、 最大固有値 の向きが目や輪郭など「よく動く部分」に近いことが多く、少数の向きだけ残して次元を小さくできます。

2. PageRank — リンクと安定スコア ページ同士のリンクから行列を作り、「ランダムにクリックし続けたらどこに集まるか」を求めると、大づかみに 安定したスコアの形 (同じルールをもう一度かけても 変わらない)を求めるのと同じ型です。 3. 深層学習と安定性（勾配の暴れ） RNN のように 同じ変換を何度も 繰り返すと、固有値の 大きさが1より十分大きい と値が 暴れ 、 みな1より小さい と 消えていく 恐れがあります。学習が続くよう 1の近く に収める工夫が大切です。

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}

例

例1 定義 「同じ直線」の 倍率 と 向き を何という? \to 固有値 と 固有ベクトル 。 例2 正誤 相似な行列は特性多項式が等しい。\to 正 。 例3 対角 対角が 3 と 2 の2\times2行列の固有値は? \to 3と2 。 例4 繰り返し 倍率がλのとき 同じ変換を三回 すると? \to λを三回かけた倍率 。 例5 和\cdot積 固有値が 1 と 4 ならトレースと行列式は? \to 和5・積4 。 例6 PCA 共分散で最大の固有値の向きは? \to 分散が最大の主方向 。

演習

\mathbb{R}^2

1 / 10

言葉	意味
固有の組	同じ直線の上で長さだけが変わる( $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ )
特性方程式	固有値の候補を出す定番の一行
向きの求め方	候補が決まったら「引き算した形」の連立方程式で向きを取る
幾何/代数の重なり	実際の向きの次元 vs 方程式で何回重なるか
対角化	独立な固有方向が十分あるとき、軸ごとの倍率だけに書ける
$\det(A)$	単位体積·面積の倍率(Ch.05)；固有値の積と一致して検算
トレース・行列式	固有値の和と積を手早く見る二つの数

言葉	意味
固有の組	同じ直線の上で長さだけが変わる( $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ )
特性方程式	固有値の候補を出す定番の一行
向きの求め方	候補が決まったら「引き算した形」の連立方程式で向きを取る
幾何/代数の重なり	実際の向きの次元 vs 方程式で何回重なるか
対角化	独立な固有方向が十分あるとき、軸ごとの倍率だけに書ける
$\det(A)$	単位体積·面積の倍率(Ch.05)；固有値の積と一致して検算
トレース・行列式	固有値の和と積を手早く見る二つの数

固有値と固有ベクトル：変換で変わらない中心軸

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演習

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固有値と固有ベクトル: 変わっても向きが残る軸

演習

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