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Chapter 03

対数関数

対数は「底を何回かけたらその数になるか」を表します。指数の逆演算であり、ディープラーニングの損失・確率の式で指数とともに使われます。

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対数は指数の逆です。y=log⁡2xy = \log_2 x は 2y=x2^y = x を満たします。以下は y=log⁡2xy = \log_2 x とその逆関数 y=2xy = 2^x のグラフです。

012345678012345678xy(x=1.0, y=0.00)(x=0.0, y=1.0)

例: log⁡21=0\log_2 1 = 0, log⁡22=1\log_2 2 = 1, log⁡24=2\log_2 4 = 2, log⁡28=3\log_2 8 = 3（2y=x2^y = x のとき yy が log⁡2x\log_2 x）

紫: y=log⁡2xy=\log_2 x、青緑: y=2xy=2^x

対数関数とは何か

対数は指数の逆の概念です。ax=ba^x = b のとき、「aa を何乗すると bb になるか」を log⁡ab=x\log_a b = x と書きます。aa が底、bb が真数、xx が対数値（指数）です。
例: 23=82^3 = 8 なので log⁡28=3\log_2 8 = 3。log⁡10100=2\log_{10} 100 = 2（102=10010^2 = 100）。底が ee のときは自然対数 ln⁡\ln と書き、ディープラーニング・統計でよく使います。
対数の和・商: log⁡a(b⋅c)=log⁡ab+log⁡ac\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c（積は対数では和に）、log⁡a(b/c)=log⁡ab−log⁡ac\log_a(b/c) = \log_a b - \log_a c（商は差に）。AIでは確率をかけるときこの形がよく出ます。
AIでは損失関数（例: 交差エントロピー）や確率の式で log⁡\log が使われます。かけ算を足し算に変えるので計算・微分が楽になります。なぜ対数か？ 確率を何度もかけると数が小さくなりすぎるため、log⁡\log で積を和にすると計算が安定し勾配降下法でも扱いやすくなります。
ディープラーニングの損失関数は、確率に log⁡\log をかけて「どれだけ外れたか」を測ることが多いです。対数を押さえると「なぜ log⁡\log を使うか」が分かります。
確率を何度もかけると数が非常に小さくなります。log⁡\log を使うと積が和になり計算が安定し、勾配降下法でも扱いやすくなります。
AIでは対数は「確率・スコアを対数スケールにする」ために使われます。交差エントロピー損失は正解クラスの対数確率の符号を反転させ、正解に近づくほど損失が 0 に近づくようにします。対数の和 log⁡(p1⋅p2)=log⁡p1+log⁡p2\log(p_1 \cdot p_2) = \log p_1 + \log p_2 が損失・確率の式に頻出します。
例値
log⁡28\log_2 83（23=82^3=8）
log⁡24\log_2 42
log⁡39\log_3 92
真数が底のべき乗のときだけ対数が整数になります。
対数でよく使う演算（AIの損失・確率の式でよく使われます）：
演算公式説明
対数の和log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(b⋅c)\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)積 → 和
対数の差log⁡ab−log⁡ac=log⁡a(b/c)\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)商 → 差
べき乗log⁡a(bn)=n⋅log⁡ab\log_a(b^n) = n \cdot \log_a b指数は前に
例計算
対数の和log⁡22+log⁡24=1+2=3\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3
対数の差log⁡28−log⁡22=3−1=2\log_2 8 - \log_2 2 = 3 - 1 = 2
下の問題で対数の値・真数・対数の和・対数の差を求めてください。