Chapter 04

極限とイプシロン-デルタ論法 (ε-δ)

極限は「ある値に限りなく近づくとき」を表します。イプシロン-デルタはそれを数学的に厳密に定義する方法で、微分・ディープラーニングの基礎になります。

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下のグラフで極限と ε-δ を確認しましょう。

まとめ: 誤差 ε（緑）を決めると、それに合う距離 δ（青）があって、 $x$ が青の範囲にあれば $f(x)$ はいつも緑の範囲に入ります。これが ε-δ の意味です。

見る順序

オレンジの点 = 曲線上の (x, f(x)) が (2, 4) に近づく
緑の帯 = L±ε（f(x) の許容誤差）
青の帯 = a±δ（x がここなら f(x) は緑に入る）

極限とは何か

極限とは「

x

がある数

a

に 限りなく近づくとき、

f(x)

がある値

L

に 限りなく近づく」という意味です。記号では

\lim_{x \to a} f(x) = L

と書きます。

x

が実際に

a

に到達しなくても、

a

の近くだけで

f(x)

が

L

にほぼ寄っていればよいのです。

平たく言うと：

x

を

a

に十分近づければ、

f(x)

をいくらでも

L

に近づけられます。例：

x

が

0

に近づくとき

\frac{\sin x}{x}

は

1

に近づきます（

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

）。

イプシロン( $\varepsilon$ )-デルタ( $\delta$ )論法は、この「近づく」を 厳密な言葉で言い換えたものです。「誤差をどんなに小さく(

\varepsilon

)決めても、

x

を

a

に十分近く(

\delta

以内)取れば、

f(x)

と

L

の差がその誤差より小さくなる」と書くやり方です。最初は難しく感じても、「もう少し近づけば、結果が望むだけ正確になる」という意味だと捉えれば十分です。

微分は「ある点での 瞬間の変化率」を測るもので、これは「ほんの少し動かしたとき、値がどれだけ変わるか」の極限です。極限を押さえると微分・傾きが理解しやすくなります。

ディープラーニングでは 勾配降下法でパラメータを少しずつ変えて損失を減らしますが、「少し変えたとき損失がどれだけ変わるか」が 微分（グラディエント） であり、その背後に極限があります。極限をざっくりでも知っておくと「なぜ微分を使うか」が自然に見えてきます。

AIでは極限は 式の中に隠れて います。学習率を小さくすると一ステップの動きが 極限に近い 動きになり、逆伝播で求める勾配も「変化量を動いた距離で割って、その距離を 0 に近づけた極限」です。イプシロン-デルタを暗記しなくても、「ごく小さな変化を扱っている」という感覚があれば次の章を読む助けになります。

極限を見るときは $x$ がどこに向かうか（例：

x \to 0

、

x \to \infty

）と、それに応じて $f(x)$ がどの値に近づくかをまず考えましょう。グラフを描くと「

a

の近くで

f(x)

が

L

の周りに集まる」ことが目で確認できます。

イプシロン-デルタの証明は「 $\varepsilon$ を先に決めて、それに合う $\delta$ を探す」順番で進めます。実務では「十分近づけば誤差が望むだけ小さくなる」という論理だけ理解していれば、次の章（微分、連続性）を読むのに十分です。

例題と解答を表にまとめました。

問題	解答
例 1. $\lim_{x \to 2} (x^2 + 1)$	解答: $x = 2$ を代入して $2^2 + 1 = 5$ 。答え 5。
例 2. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$	解答: $x$ が大きくなると $\frac{1}{x}$ は 0 に近づく。答え 0。
例 3. $\lim_{x \to 3} (2x - 1)$	解答: $x = 3$ を代入して $2 \times 3 - 1 = 5$ 。答え 5。