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Chapter 09

積分

積分は微分の逆演算です。曲線の下の面積・累積量を求め、確率・期待値で使います。

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直線形と曲線の間のすき間は、区間を細かくするほど減り、極限で正確な面積（積分）になります。

定積分は曲線の下の面積を表します。原始関数を求め、上端・下端を代入して引きます。

積分とは

一言で積分は微分の逆演算です。微分した結果を「戻す」操作で、記号は ∫\int を使います。区間 [a,b][a,b] の定積分は ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx と書きます。
面積と結びつきます。曲線と xx 軸、x=ax=a、x=bx=b で囲まれた面積を定積分で定義します。正の関数なら「曲線の下の面積」になります。
定積分は、積分の中身を「微分する前の形」に戻した関数を求め、上端・下端を代入した差で計算します。基本公式: F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) のとき ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) です。この FF を ff の原始関数といいますが、「戻した関数」と思って大丈夫です。
日常でも使います。速度が変わる時の総移動距離は速度を積分した値です。時間とともに溜まる総量（物流、電力消費など）も区間を積分して求めます。
確率では、連続分布の「ある区間に入る確率」は、その区間で確率密度を積分した値です。天気の「気温20〜25度の確率」、品質管理の「許容範囲内の確率」などです。
人工知能・深層学習では積分が欠かせません。連続確率分布を使うモデル（画像生成、音声、予測）では区間確率や期待値はすべて積分で計算されます。VAE、正規化フロー、ベイズニューラルネットなど分布を扱うモデルは積分なしには説明できず、強化学習でも累積報酬の期待値が積分です。Ch10–Ch12 の確率・分布で自然に登場します。
物理では、距離・仕事・電荷・流量など「累積量」を積分で求めます。加速度を積分すると速度、速度を積分すると距離になります。
経済では、時間に対する需要・コストをまとめるときに積分を使うこともあります。連続的に変わる流れを一つの値にまとめるときです。
人工知能ではこう使われます。(1) 生成モデル — VAE、拡散モデルなどは連続分布の期待値・対数尤度を積分で計算します。(2) ベイズ推定 — 事後分布の平均・確率は積分です。(3) 強化学習 — 方策の期待報酬は報酬関数の積分です。(4) 連続出力 — 予測が区間のとき「その区間に入る確率」も積分です。ここで定積分・原始関数を押さえると Ch10 以降の確率・AI がずっと楽になります。
定積分は ① 上端・下端の確認 → ②「戻した関数」を求める → ③ (上端での値) − (下端での値) の順で求めます。
「原始関数」って何？ — 積分の中身を微分する前の形に戻した関数です。例：2x2x を微分すると 22 だから、逆に「22 を積分すると？」→ 2x2x。だから 22 の原始関数は 2x2x です。難しく考えず、「上端・下端に代入して引くときに使う関数」と思えば十分です。
1段階: 上端・下端の確認 — ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx では aa が下端、bb が上端です。∫13\int_1^3 なら下端 1、上端 3 です。
2段階: 戻した関数（原始関数）を求める — 積分の中身を「微分する前」に戻した関数を一つ求めます。よく使うもの：xnx^n → xn+1/(n+1)x^{n+1}/(n+1)、定数 cc → cxcx、xx → x2/2x^2/2。項が複数なら項ごとに戻して足します。
3段階: 上端・下端を代入して引く — 求めた F(x)F(x) に上端 bb を代入した値から下端 aa を代入した値を引きます。F(b)−F(a)F(b)-F(a) が答えです。
検算・注意 — 求めた関数を微分すると積分の中身に戻るか確認しましょう。引き算の順は常に F(上端)−F(下端)F(\text{上端})-F(\text{下端}) です。
「不定積分」とは？ — 上端・下端がなく、戻した関数 + C だけを書く積分を不定積分といいます。例：∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2 + C。CC は任意の定数です。「x=2x=2 での値は？」と聞かれたら x2+Cx^2+C に 22 を代入すればよく、このコースでは C=0C=0 として計算します。不定積分は定積分で使う「戻した関数」に +C+C をつけたものと考えるとよいです。
「原始関数に与えた値を代入した結果」の問題 — ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2+C のように戻した関数が与えられ「x=2x=2 での値は？」と聞かれたときは、その式に 2 を代入すればよいです。C=0C=0 なら 22=42^2=4 が答えです。
例題と段階ごとの解答です。（定積分は ①·②·③、不定積分の代入は ①·② のみ。）
例1. ∫023 dx\int_0^2 3\,dx
① 下端 0、上端 2.
② 33 を戻した関数 3x3x.
③ 3⋅2−3⋅0=63\cdot 2 - 3\cdot 0 = 6 → 6
例2. ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx
① 下端 1、上端 3.
② 2x2x を戻した関数 x2x^2.
③ 32−12=83^2 - 1^2 = 8 → 8
例3. ∫02(1+x) dx\int_0^2 (1+x)\,dx
① 下端 0、上端 2.
② 11→xx、xx→x2/2x^2/2 より x+x2/2x+x^2/2.
③ (2+2)−(0+0)=4(2+2)-(0+0)=4 → 4
例4. ∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2+C のとき x=2x=2 での値？
① 不定積分 x2+Cx^2+C に x=2x=2 を代入.
② C=0C=0 なら 22=42^2 = 4 → 4