Chapter 02

指数と指数関数

指数は同じ数を何回かけたかを表し、指数関数はその規則を変数にした関数です。ディープラーニングの活性化・損失の設計で使われます。

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例: $2^0=1$ , $2^1=2$ , $2^2=4$ , $2^3=8$

指数と指数関数とは何か

指数は「同じ数を何回かけたか」を表します。例: 2 を 3 回かけると

2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8

。この 3 が指数（exponent）です。

指数関数は底（base）

a

を固定し、入力

x

に対して

a^x

を出力する関数です。式では

y = a^x

（

a > 0

a \neq 1

）と書きます。

a > 1

なら

x

が増えると値は増え、

0 < a < 1

なら

x

が増えると値は減ります。

自然対数の底 $e$ （約 2.718…）は、数学やディープラーニングでよく使う特別な底です。「自然な成長」を扱うときに自然に現れる数で、

e^x

を微分しても

e^x

のままなので式が簡単になります。ソフトマックスや確率モデルでは

e^z

の形で活性化・確率計算に使われます。

AIでは指数関数が活性化関数（例: softmax 内の

e^x

）や損失・確率の設計に使われます。対数と組み合わせるとかけ算を足し算に変え、計算が楽になります。

ディープラーニングではソフトマックスが各出力候補に

e^z

（スコア

z

）をかけて確率のようにします。指数を押さえないと「なぜこう計算するか」が読めません。指数・対数を押さえると活性化と損失の設計が理解できます。

損失関数や確率モデルでは指数を含む式がよく出ます。基礎数学の指数・指数関数を押さえると、その式がどこでどう使われているか追いやすくなります。

AIでは指数関数は「スコア（数）を入れると正の値が一つ出る関数」として使われます。ソフトマックスは各スコアに

e^z

をかけて和を 1 にし、その中から一つを選びます。指数を押さえるとこの過程が読めます。

下のビジュアルのように

y = 2^x

では

x=0

のとき

1

、

x=1

のとき

2

、

x=2

のとき

4

、

x=3

のとき

8

です。底と指数の関係を目で確認してください。