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Chapter 05

連続性

ある点で連続とは、そこでの極限が存在し、その値が関数値と一致するときです。微分可能性や、ディープラーニングの活性化・損失関数の理解の基礎になります。

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左: 連続 — 曲線が点 (a,f(a))(a, f(a)) で切れずにつながっています。右: 不連続 — その点で穴や飛びがあります。

連続

lim = f(a)

不連続

f(a) なし または lim ≠ f(a)

連続とは lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) のとき。グラフではその点で線が切れていません。

見る順序

  • 左グラフ: y=x2y = x^2 は x=2x = 2 で連続（曲線が (2, 4) を通り切れ目なし）。
  • 右グラフ: x=ax = a で関数値が無い、または極限と異なると不連続（穴または飛び）。

連続性とは何か

連続とは、xx が aa に近づくとき f(x)f(x) が f(a)f(a) に近づき、その極限が f(a)f(a) と一致するときを言います。記号では lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) と書きます。グラフではその点で 切れずにつながっているという意味です。
平たく言うと：① f(a)f(a) が定義され、② lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) が存在し、③ その極限が f(a)f(a) と等しいこと。一つでも欠けるとその点で 不連続 です。
ε-δで言うと：どんなに小さい誤差 ε\varepsilon を取っても、xx を aa に十分近く（δ\delta 以内）取れば f(x)f(x) と f(a)f(a) の差を ε\varepsilon より小さくできる、という意味です。極限の章と同じ論理で、ここでは その極限値が f(a)f(a) そのものという点が違います。
微分可能なら連続です。ある点で微分（瞬間の変化率）が定義されるには、そこで関数値が存在し極限と一致している必要があります。だから連続性は微分を学ぶ前に押さえておく必要があります。
ディープラーニングでは 活性化関数（ReLU、シグモイドなど）や 損失関数は通常 連続です。入力を少し変えたとき出力が急に飛ばず滑らかに変わることで 勾配降下法が安定して動きます。
AIでは損失関数は「予測が正解からどれだけ離れているか」を測りますが、これが 連続でないと、小さな改善が小さな損失減少につながらず、活性化関数も連続（または区間ごとに連続）なので 逆伝播で勾配を求める計算が well-defined になります。
連続かどうかを見るには、その点で lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) が存在するか、f(a)f(a) が定義されているか、両者が等しいかの三つを確認しましょう。
チェックリスト：① f(a)f(a) 存在 ② lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) 存在 ③ 極限 =f(a)= f(a)。一つでも欠ければその点で不連続です。
例題と解答を表にまとめました。
問題解答
例 1. f(x)=x2f(x) = x^2 は x=2x = 2 で連続か解答: f(2)=4f(2) = 4、lim⁡x→2x2=4\lim_{x \to 2} x^2 = 4 で一致するので連続。
例 2. g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x} は x=0x = 0 で連続か解答: g(0)g(0) は定義されていない → 不連続。
例 3. h(x)=2x+1h(x) = 2x + 1 は x=−1x = -1 で連続か解答: h(−1)=−1h(-1) = -1、lim⁡x→−1(2x+1)=−1\lim_{x \to -1} (2x+1) = -1 で一致するので連続。