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Chapter 13

三角関数: 角と比の関係を関数として定義する (sin, cos, tan)

三角関数は、角度が変わると辺の比がどう変わるかを示す道具です。時計や季節のような周期現象を数で表すときに重要で、波や信号解析、さらにAIの位置エンコーディングにもつながります。

単位円で角 θ\thetaθ を回すと、点の座標は (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)(cosθ,sinθ) として動きます。

sin θ: 縦の高さ

θsinθxy

sin(θ) = -0.87

cos θ: 横の長さ

θcosθxy

cos(θ) = 0.50

tan θ: 傾き比

θxytanθtanθ = y/x = -1.73

tan(θ) = -1.73

現在の θ 基準:sinθ = -0.87cosθ = 0.50tanθ = -1.73
核心関係: tanθ = sinθ / cosθ (cosθ ≠ 0)

単位円では横投影が cos⁡θ\cos\thetacosθ、縦投影が sin⁡θ\sin\thetasinθ、傾き比が tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ​ です。

  • 角 θ\thetaθ を作り、円上の点 PPP を取ります。
  • 点 PPP の x座標は cos⁡θ\cos\thetacosθ、y座標は sin⁡θ\sin\thetasinθ です。
  • cos⁡θ≠0\cos\theta\neq0cosθ=0 のとき、tan⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\tan\theta=\sin\theta/\cos\thetatanθ=sinθ/cosθ で傾きを読みます。

三角関数とは何か

概念: 直角三角形で、角度 θ\thetaθ に対する辺の比を表す関数です。式では sin⁡θ=高さ斜辺\sin\theta=\frac{\text{高さ}}{\text{斜辺}}sinθ=斜辺高さ​、cos⁡θ=底辺斜辺\cos\theta=\frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}cosθ=斜辺底辺​、tan⁡θ=高さ底辺\tan\theta=\frac{\text{高さ}}{\text{底辺}}tanθ=底辺高さ​ です。
直感（観覧車の比喩）: 半径1の単位円を考えると、θ\thetaθ だけ回転した位置は (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)(cosθ,sinθ) になります。つまり cos⁡θ\cos\thetacosθ は左右位置、sin⁡θ\sin\thetasinθ は上下位置をそのまま表します。
数理説明: 単位円の方程式は x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1。ここに (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)(x,y)=(cosθ,sinθ) を代入すると sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1sin2θ+cos2θ=1。さらに傾きは縦/横なので tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ​ です。
実務接続: 現実データには24時間や季節のような周期性が多くあります。生の直線的な数値ではなく三角関数で円形表現に変換すると、モデルが規則性を安定して学習しやすくなります。初学者は π\piπ を直接計算するより、まず 24時間=360度 に変換して読むのが安全です。
23時と0時のような周期境界問題をきれいに解決できます。sin⁡/cos⁡\sin/\cossin/cos 変換により、数値上は離れていても円上では近いことを保てます。
Transformerの位置エンコーディングで重要です。異なる周波数の sin⁡\sinsin/cos⁡\coscos を重ね、順序情報を表現します。
波・周波数モデリングの基礎言語であり、時系列や信号処理AIの土台になります。
角度や時刻をラジアンに変換し、(sin⁡θ,cos⁡θ)(\sin\theta,\cos\theta)(sinθ,cosθ) をペア特徴として入力します。
曜日・季節・方位など循環データを三角関数で包み、不連続な境界を滑らかにします。
????????cosine similarity????????????????????2?????? a,b\mathbf{a},\mathbf{b}a,b ????? cos⁡θ=a⋅b∥a∥∥b∥\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}cosθ=∥a∥∥b∥a⋅b​ ?????????????????????????? cos⁡θ≈1\cos\theta\approx1cosθ≈1????? 000?????? −1-1−1???????????????????RAG?????????????????????????????????
このセットは問題タイプの重複を最小化して出題されます。まずタイプを判定し、(1) タイプ判定（座標/符号/周期/恒等式/MLエンコード）→
(2) 単位円座標 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)(cosθ,sinθ) または公式選択 →
(3) 計算と符号確認 の順で解くと安定します。
Chapter 04 と同様に、定義から段階的に絞る順序が重要です。典型的には 易しい（座標・符号）→ 普通（周期・和・恒等式）→ 難しい（MLエンコード・結合型） で進みます。時刻問題は π\piπ の直接計算より、まず 24時間=360度 へ変換する方が安全です。
例題と解法手順を表で示します。
  • 問題例1（易） 単位円で θ=180∘\theta=180^\circθ=180∘ のとき y座標は？
  • 解法点は (−1,0)(-1,0)(−1,0) なので y座標は 000。つまり sin⁡θ=0\sin\theta=0sinθ=0。
  • 問題例2（普） y=cos⁡(6x)y=\cos(6x)y=cos(6x) の周期（度）は？
  • 解法周期公式 360k\frac{360}{k}k360​、k=6k=6k=6 なので 3606=60\frac{360}{6}=606360​=60。
  • 問題例3（難） hour=18hour=18hour=18 のとき sin⁡(2π⋅hour/24)\sin(2\pi\cdot hour/24)sin(2π⋅hour/24) は？
  • 解法24時間=360∘24\text{時間}=360^\circ24時間=360∘ より 18時間=270∘18\text{時間}=270^\circ18時間=270∘、したがって sin⁡270∘=−1\sin270^\circ=-1sin270∘=−1。
問題解法
例1（易） 単位円で θ=180∘\theta=180^\circθ=180∘ のとき y座標は？点は (−1,0)(-1,0)(−1,0) なので y座標は 000。つまり sin⁡θ=0\sin\theta=0sinθ=0。
例2（普） y=cos⁡(6x)y=\cos(6x)y=cos(6x) の周期（度）は？周期公式 360k\frac{360}{k}k360​、k=6k=6k=6 なので 3606=60\frac{360}{6}=606360​=60。
例3（難） hour=18hour=18hour=18 のとき sin⁡(2π⋅hour/24)\sin(2\pi\cdot hour/24)sin(2π⋅hour/24) は？24時間=360∘24\text{時間}=360^\circ24時間=360∘ より 18時間=270∘18\text{時間}=270^\circ18時間=270∘、したがって sin⁡270∘=−1\sin270^\circ=-1sin270∘=−1。
タイプ別の解き方
  • タイプ単位円座標型
  • 説明x, y, または x+yx+yx+y を問う
  • 答えの出し方標準角を置き、x=cos⁡θx=\cos\thetax=cosθ, y=sin⁡θy=\sin\thetay=sinθ を読む
  • タイプ象限符号型
  • 説明関数値の + / - 判定
  • 答えの出し方象限で x,y の符号を確認し、sin⁡,cos⁡,tan⁡=yx\sin,\cos,\tan=\frac{y}{x}sin,cos,tan=xy​ の符号を決定
  • タイプ周期計算型
  • 説明y=sin⁡(kx),y=cos⁡(kx)y=\sin(kx), y=\cos(kx)y=sin(kx),y=cos(kx)
  • 答えの出し方度単位の周期は 360k\frac{360}{k}k360​
  • タイプ恒等式・結合型
  • 説明sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta+\cos^2\thetasin2θ+cos2θ、和/比
  • 答えの出し方基本恒等式を適用して代入計算
  • タイプML適用型（入門）
  • 説明時刻/方向エンコード
  • 答えの出し方まず 24時間=360度 に変換し、必要なら θ=2π⋅tT\theta=2\pi\cdot\frac{t}{T}θ=2π⋅Tt​ に接続
タイプ説明答えの出し方
単位円座標型x, y, または x+yx+yx+y を問う標準角を置き、x=cos⁡θx=\cos\thetax=cosθ, y=sin⁡θy=\sin\thetay=sinθ を読む
象限符号型関数値の + / - 判定象限で x,y の符号を確認し、sin⁡,cos⁡,tan⁡=yx\sin,\cos,\tan=\frac{y}{x}sin,cos,tan=xy​ の符号を決定
周期計算型y=sin⁡(kx),y=cos⁡(kx)y=\sin(kx), y=\cos(kx)y=sin(kx),y=cos(kx)度単位の周期は 360k\frac{360}{k}k360​
恒等式・結合型sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta+\cos^2\thetasin2θ+cos2θ、和/比基本恒等式を適用して代入計算
ML適用型（入門）時刻/方向エンコードまず 24時間=360度 に変換し、必要なら θ=2π⋅tT\theta=2\pi\cdot\frac{t}{T}θ=2π⋅Tt​ に接続
例（単位円座標型）
単位円で θ=270∘\theta=270^\circθ=270∘ のとき x+yx+yx+y を求めよ。
解法
1) 270∘270^\circ270∘ の点は (0,−1)(0,-1)(0,−1)
2) x+y=0+(−1)=−1x+y=0+(-1)=-1x+y=0+(−1)=−1
よって 答えは -1。
例（象限符号型）
第2象限で tan⁡θ\tan\thetatanθ の符号を求めよ。
解法
1) 第2象限では sin⁡θ>0\sin\theta>0sinθ>0, cos⁡θ<0\cos\theta<0cosθ<0
2) tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ<0\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}<0tanθ=cosθsinθ​<0
よって 答えは負。
例（周期計算型）
y=sin⁡(8x)y=\sin(8x)y=sin(8x) の周期（度）を求めよ。
解法
1) 周期公式は 360k\frac{360}{k}k360​
2) k=8k=8k=8 なので 3608=45\frac{360}{8}=458360​=45
よって 答えは 45。
例（ML適用型、π\piπ 直接計算なし）
hour=6hour=6hour=6 のとき、24時間を360度とみなすと角度は何度で、sin⁡θ\sin\thetasinθ はいくつか？
解法
1) 24時間 = 360度なので 1時間 = 15度
2) 6時間は 6×15=90∘6\times15=90^\circ6×15=90∘
3) sin⁡90∘=1\sin90^\circ=1sin90∘=1
よって 答えは 1。
（式で書くと θ=2π⋅624=π2\theta=2\pi\cdot\frac{6}{24}=\frac{\pi}{2}θ=2π⋅246​=2π​ と同じ。）