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Chapter 09

積分：面積と累積、確率への架け橋

積分は微分の逆演算です。曲線の下の面積・累積量を求め、確率・期待値で使います。

チャプター別 数学図

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直線形と曲線の間のすき間は、区間を細かくするほど減り、極限で正確な面積（積分）になります。

定積分は曲線の下の面積を表します。原始関数を求め、上端・下端を代入して引きます。

積分とは

積分は微分の逆です。微分がパンを薄くスライスする（変化率を求める）なら、積分はその薄いスライスを再び集めて元の量（面積・総量）にする操作です。記号 ∫\int∫ は Sum の S を伸ばした形です。微積分学の基本定理は「微分と積分が互いに逆演算である」ことを厳密に証明したものです。これにより、定積分を計算するとき極限を直接求めず、原始関数を探すだけで済みます。
曲線の下の面積を求める精密な道具です。ぐにゃぐにゃした曲線の下の面積は、幅がほぼ 0 の細い長方形を無限に足して求めます。数学的には蓄積した変化の総和を意味します。
定積分は始点 aaa と終点 bbb が決まった積分です。計算ではまず「微分すると被積分関数になる関数（原始関数 FFF）」を求め、F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)（後の状態 − 前の状態）で蓄積した結果（面積や総量）を求めます。
日常の累積量の計算に不可欠です。車の速度 vvv は刻々変わりますが、時間 ttt で積分すると総移動距離になります。蛇口の流量を積分すると浴槽の総水量になるように、変動する値を集めて結果を出すときに積分を使います。
連続確率分布を理解する鍵です。身長・体重のような連続データで「身長が170〜180cmの確率」を求めるには、確率密度曲線のその区間の下の面積を積分します。積分値がその事象の確率になります。
AIの意思決定の基礎です。AIが不確実な中で選択するとき、可能な結果に確率をかけて足した期待値を計算します。その計算が積分です。生成モデル（VAE、Diffusion）や強化学習の累積報酬の計算も、積分なしには一歩も進めません。
物理では仕事・エネルギーを求めるときに使います。力を距離で積分すると仕事、加速度を積分すると速度、速度を積分すると位置が得られ、軌道や運動の予測に使います。
経済では時間にわたる総需要・総供給の把握や、消費者余剰・生産者余剰の計算で市場の効率性を分析するときに積分を使います。
AIの性能評価と最適化：AUC（Area Under Curve）はグラフの下の面積（積分値）です。確率の合計を 1 にする正規化でも全区間の積分が行われます。ネットワーク内でデータを確率的に扱う場面に積分の原理が潜んでいます。
定積分は ① 下端・上端の確認 →
② 原始関数を求める →
③ F(上端)−F(下端)F(\text{上端})-F(\text{下端})F(上端)−F(下端) の順です。
原始関数は、∫\int∫ の中身を微分する前の形に戻した関数です。
xnx^nxn は次数を 1 上げてその数で割る、定数は cxcxcx、exe^xex はそのまま、和は項ごとに戻して足します。FFF を微分して被積分関数に戻るか確認し、引き算は必ず (上端) − (下端) です。
不定積分は原始関数 + C+\,C+C のみ。「x=kx=kx=k での値」は通常 C=0C=0C=0 として代入します。
いちばん簡単な例：∫023 dx\displaystyle\int_0^2 3\,dx∫02​3dx
原始関数 3x3x3x → (3⋅2)−(3⋅0)=6(3\cdot 2)-(3\cdot 0)=6(3⋅2)−(3⋅0)=6。答え 6。
下の表は易しい式からいくつかの型までまとめたものです。各行で原始関数を求め、上端・下端を代入して引いてください。
  • 問題∫023 dx\int_0^2 3\,dx∫02​3dx
  • 解答の骨子原始関数 3x3x3x → (3⋅2)−(3⋅0)=6(3\cdot 2)-(3\cdot 0)=6(3⋅2)−(3⋅0)=6
  • 問題∫132x dx\int_1^3 2x\,dx∫13​2xdx
  • 解答の骨子原始関数 x2x^2x2 → 32−12=83^2-1^2=832−12=8
  • 問題∫02(1+x) dx\int_0^2 (1+x)\,dx∫02​(1+x)dx
  • 解答の骨子原始関数 x+x2/2x+x^2/2x+x2/2 → (2+22/2)−0=4(2+2^2/2)-0=4(2+22/2)−0=4
  • 問題∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx=x^2+C∫2xdx=x2+C, x=2x=2x=2 (C=0C=0C=0)
  • 解答の骨子22=42^2=422=4
問題解答の骨子
∫023 dx\int_0^2 3\,dx∫02​3dx原始関数 3x3x3x → (3⋅2)−(3⋅0)=6(3\cdot 2)-(3\cdot 0)=6(3⋅2)−(3⋅0)=6
∫132x dx\int_1^3 2x\,dx∫13​2xdx原始関数 x2x^2x2 → 32−12=83^2-1^2=832−12=8
∫02(1+x) dx\int_0^2 (1+x)\,dx∫02​(1+x)dx原始関数 x+x2/2x+x^2/2x+x2/2 → (2+22/2)−0=4(2+2^2/2)-0=4(2+22/2)−0=4
∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx=x^2+C∫2xdx=x2+C, x=2x=2x=2 (C=0C=0C=0)22=42^2=422=4
問題タイプ別の解法
  • タイプ定数の定積分
  • 説明∫abc dx\int_a^b c\,dx∫ab​cdx
  • 答えの求め方原始関数 cxcxcx。（上端代入）−（下端代入）=c(b−a)c(b-a)c(b−a)。
  • タイプ一次式の定積分
  • 説明∫ab(mx+k) dx\int_a^b (mx+k)\,dx∫ab​(mx+k)dx
  • 答えの求め方原始関数 m2x2+kx\frac{m}{2}x^2 + kx2m​x2+kx。F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a) を計算。
  • タイプ原始関数の値
  • 説明不定積分が与えられ x=kx=kx=k での値
  • 答えの求め方その式に kkk を代入。（C=0C=0C=0 なら F(k)F(k)F(k)。）
タイプ説明答えの求め方
定数の定積分∫abc dx\int_a^b c\,dx∫ab​cdx原始関数 cxcxcx。（上端代入）−（下端代入）=c(b−a)c(b-a)c(b−a)。
一次式の定積分∫ab(mx+k) dx\int_a^b (mx+k)\,dx∫ab​(mx+k)dx原始関数 m2x2+kx\frac{m}{2}x^2 + kx2m​x2+kx。F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a) を計算。
原始関数の値不定積分が与えられ x=kx=kx=k での値その式に kkk を代入。（C=0C=0C=0 なら F(k)F(k)F(k)。）
例（定数の定積分）
∫023 dx\int_0^2 3\,dx∫02​3dx を求めなさい。
解答
原始関数は 3x3x3x。(3×2)−(3×0)=6(3\times 2)-(3\times 0)=6(3×2)−(3×0)=6。→ 答 6
例（一次式の定積分）
∫132x dx\int_1^3 2x\,dx∫13​2xdx を求めなさい。
解答
原始関数は x2x^2x2。32−12=9−1=83^2-1^2=9-1=832−12=9−1=8。→ 答 8
例（原始関数の値）
∫2x dx=x2+C\int 2x\,dx = x^2+C∫2xdx=x2+C のとき x=2x=2x=2 での値を求めなさい。（C=0C=0C=0）
解答
x2x^2x2 に 222 を代入 → 444。→ 答 4