Chapter 06

微分と導関数：瞬間の傾き、学習の羅針盤

微分はある点での瞬間の変化率（傾き）を表します。導関数はそれを関数にしたもので、ディープラーニングの勾配降下法・誤差逆伝播の基礎になります。

チャプター別数学図

チャプターを選ぶと、下の図がそのチャプターの内容に切り替わります。基礎数学の流れを一覧で確認できます。

左: 接線 — 曲線上の一点で一点だけ接する直線です。その傾きがその点での微分です。右: 二点を結ぶ線 — 曲線上の二点を結ぶ線です。二点を近づけるとこの線は接線に近づき、その極限が微分です。

曲線 $y=x^2$ 上に一点 (2, 4) を取ります。この点で「傾き」を測りたいのです。

微分は接線の傾きです。「二点を結ぶ線の傾き」を二点を重ねたときの極限が接線の傾きです。

微分と導関数とは何か

微分（Derivative）は、曲線上の特定の点でグラフがどれだけ急に変わっているかを表す「瞬間の変化率」です。幾何学的には、その点における接線の傾きに等しくなります。車のスピードメーターが瞬間ごとの速度を示すように、微分は入力

x

がごくわずかに変わるとき、出力

y

がどれだけ敏感に反応するかを数で教えてくれます。

数学では、この傾きは「ごく近い2点間の平均の傾き」を求めたあと、2点の間隔を 0 に近づける極限（Limit）をとって得られます。式では

f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

です。（分母の

h

は2点間の距離、分子はその変化に対する

f

の変化量です。）この過程で得られた値を微分係数といい、

f^{\prime}(a)

と書きます。この値が大きいと傾きが急で、0 なら平らな状態を意味します。

導関数は、関数

f(x)

のすべての点に対して、その点での微分係数（傾き）を対応させた新しい関数です。つまり、傾きをいちいち計算しなくても、導関数の式に

x

を代入すればその位置の傾きがすぐ分かる「傾き生成器」です。この導関数を求める過程を「微分する」といいます。

区分 $以下$
説明 $よく使う微分公式です。$

区分 $'$
説明 $微分（導関数）を表します。$

区分	説明
以下	よく使う微分公式です。
$'$	微分（導関数）を表します。

公式 $定数$
説明 $微分すると 0$

公式 $x^n$
説明 $n$

公式 $e^x$
説明 $e^x$

公式 $a^x$
説明 $a^x \ln a$

公式 $\ln x$
説明 $1/x$

公式 $対数（底 a）$
説明 $1/(x \ln a)$

公式 $sin$
説明 $微分すると cos$

公式 $cos$
説明 $-\sin$

公式 $tan$
説明 $1/\cos^2$

公式 $和・差$
説明 $それぞれ微分して足すか引く$

公式 $定数倍$
説明 $定数はそのまま、中だけ微分$

公式 $積の微分$
説明 $(1つ目微分)\times2つ目 + 1つ目\times(2つ目微分)$

公式 $商の微分$
説明 $(上微分\times下 - 上\times下微分) / 下の2乗$

公式 $直感（積）$
説明 $「1つ目を微分\times2つ目」＋「1つ目\times2つ目を微分」。極限で分けると二つの変化が足されて2項になります。$

公式 $直感（商）$
説明 $商を「上\times(1/下)」と見て積の微分を使う。(1/下)の微分を代入して整理すると上の公式になります。$

公式	説明
定数	微分すると 0
べき乗 $x^n$	前に $n$ を出し、指数は $n-1$
自然指数 $e^x$	微分してもそのまま $e^x$
一般の指数 $a^x$	$a^x \ln a$
自然対数 $\ln x$	$1/x$
対数（底 a）	$1/(x \ln a)$
sin	微分すると cos
cos	微分すると $-\sin$
tan	微分すると $1/\cos^2$
和・差	それぞれ微分して足すか引く
定数倍	定数はそのまま、中だけ微分
積の微分	(1つ目微分)×2つ目 + 1つ目×(2つ目微分)
商の微分	(上微分×下 − 上×下微分) / 下の2乗
直感（積）	「1つ目を微分×2つ目」＋「1つ目×2つ目を微分」。極限で分けると二つの変化が足されて2項になります。
直感（商）	商を「上×(1/下)」と見て積の微分を使う。(1/下)の微分を代入して整理すると上の公式になります。

公式 $定数$
数値例 $(5)'=0、(-3)'=0$
解き方 $微分すると 0$

公式 $x^n$
数値例 $(x^3)'=3x^2$
解き方 $n-1$

公式 $e^x$
数値例 $x=0$
解き方 $微分してもそのまま$

公式 $a^x$
数値例 $(2^x)'=2^x \ln 2$
解き方 $a^x$

公式 $\ln x$
数値例 $x=5$
解き方 $1/x$

公式 $sin$
数値例 $x=0$
解き方 $sin \to cos$

公式 $cos$
数値例 $x=0$
解き方 $-\sin$

公式 $和$
数値例 $(x^2+x)'=2x+1$
解き方 $項ごとに微分して足す$

公式 $定数倍$
数値例 $(5x^2)'=10x$
解き方 $x^2$

公式 $積$
数値例 $(x\cdot e^x)'=e^x(1+x)$
解き方 $(1つ目微分)\times2つ目 + 1つ目\times(2つ目微分)$

公式 $商$
数値例 $x/(x^2+1)$
解き方 $(上微分\times下-上\times下微分)/下の2乗に代入$

公式	数値例	解き方
定数	(5)'=0、(-3)'=0	微分すると 0
$x^n$	$(x^3)'=3x^2$ 、 $x=2$ で 12	指数を前に、指数は $n-1$
$e^x$	$x=0$ で 1、 $x=1$ で $e$	微分してもそのまま
$a^x$	$(2^x)'=2^x \ln 2$	$a^x$ に $\ln a$ をかける
$\ln x$	$x=5$ で $1/5$	微分すると $1/x$
sin	$x=0$ で 1	sin → cos
cos	$x=0$ で 0	cos → $-\sin$
和	$(x^2+x)'=2x+1$	項ごとに微分して足す
定数倍	$(5x^2)'=10x$	定数そのまま、 $x^2$ だけ微分
積	$(x\cdot e^x)'=e^x(1+x)$	(1つ目微分)×2つ目 + 1つ目×(2つ目微分)
商	$x/(x^2+1)$ → $x=1$ で 0	(上微分×下−上×下微分)/下の2乗に代入

日常でも「傾き」は「どちらの方向に、どれだけ速く変わっているか」を表します。例えば山を下るとき、いちばん急な方向が「傾きがいちばん大きい方向」です。反対に谷底（最小値）や山の頂上（最大値）では、上がるでも下がるでもないので、その場所では傾きは0です。だから「いちばん低いところ」「いちばん高いところ」を探すのは「傾きが0のところ」を探すのと同じです。こういう「傾き」を式ではっきり表したのが微分です。微分がわかると、「どこがいちばん低い・高いか」だけでなく「どちらに進むと一番速く下れるか」まで計算できます。

ディープラーニングではまず「予測が正解に近いほどよい」という点数（損失）を一つ決めます。この点数が低いほどモデルがよく当たっていることになります。その点数を下げるために、モデルの中のたくさんの数（重み）を少しずつ変えます。でも数が多すぎて、「これを増やそう、あれを減らそう」と全部試すことはできません。そこで勾配（グラディエント）を使います。勾配は「各数を少し増やすと点数が下がるか上がるか、少し減らすとどうなるか」を一度に教えてくれる値で、導関数と同じ考え方です。それを見て「点数を下げるにはこの数は増やして、あの数は減らそう」と決めます。微分を知っていると「AIがなぜこう数字を変えるか」を説明できます。

誤差逆伝播は「答え（出力）側から入力側へ逆向きに」一歩ずつ進みながら、各数（重み）について「損失がどれだけ変わるか（微分）」を一つずつ計算する方法です。モデルは何段も重なっている（入力→第1層→…→出力）ので、重みを一つ変えると次の段が順に変わり、最後に損失が変わります。この「連鎖的に変わる」関係をたどって微分するには合成関数の微分（連鎖律）が必要です。この章で学ぶ導関数と公式がそのまま使われるので、ここでしっかり覚えておくとあとが楽です。

ふつう微分は「この値を少し変えたとき、結果がどれだけ変わり、どちら向き（増えるか減るか）に変わるか」を測る道具です。だから「この数字を増やすのがよいか、減らすのがよいか」を決めるときに使います。例えば気温が上がると売上が増えるか減るか、価格を上げると需要がどれだけ減るか、広告費を増やすと売上がどれだけ増えるか—こういう「一つを少し変えたとき、もう一つがどれだけ・どちらに変わるか」は、全部微分で測れます。

AIの学習では「各重みをどれだけ・どの方向に変えるか」が損失をその重みで微分した値で決まります。損失（点数）を下げたいけれど、重みが何千・何万もあるので一つずつ試すことはできません。だから「この重みを少し増やすと損失が下がるか上がるか」を微分で求めるのです。この章の微分公式（和・積・商・連鎖律）を知っていると逆伝播の式を読めるし、あとで偏微分・勾配（Ch08）に広げていけます。

導関数を求めるには、どの公式が使えるか（べき乗、指数、対数、三角、積・商・連鎖）を見て、公式通りに書き、整理します。

例題と解答を表にまとめました。

問題 $f(x)=x^3-2x$
解答 $f^{\prime}(x)=3x^2-2$

問題 $g(x)=e^x \ln x$
解答 $e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

問題 $h(x)=\frac{\sin x}{x}$
解答 $\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$

問題	解答
例1. $f(x)=x^3-2x$ の導関数	べき・和: $f^{\prime}(x)=3x^2-2$
例2. $g(x)=e^x \ln x$ の導関数	積の微分: $e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$
例3. $h(x)=\frac{\sin x}{x}$ の導関数	商の微分: $\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$

問題タイプ別の解法

タイプ $べき乗$
式・公式 $f(x)=x^n$
$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方 $f^{\prime}(a) = n \cdot a^{n-1}$

タイプ $一次式$
式・公式 $f(x)=mx+b$
$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方 $f^{\prime}(a) = m$

タイプ $二次式$
式・公式 $f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0$
$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方 $f^{\prime}(a) = 2 a_2 \cdot a + a_1$

タイプ $定数倍・べき乗$
式・公式 $f(x)=c \cdot x^n$
$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方 $f^{\prime}(a) = c \cdot n \cdot a^{n-1}$

タイプ	式・公式	$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方
べき乗	$f(x)=x^n$	$f^{\prime}(a) = n \cdot a^{n-1}$ 。指数を前に出し、指数から1引いたものに $a$ を代入。
一次式	$f(x)=mx+b$	$f^{\prime}(a) = m$ 。傾きが導関数なので $a$ に無関係に $m$ が答え。
二次式	$f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0$	$f^{\prime}(a) = 2 a_2 \cdot a + a_1$ 。 $x^2$ の係数の2倍× $a$ ＋一次の係数。
定数倍・べき乗	$f(x)=c \cdot x^n$	$f^{\prime}(a) = c \cdot n \cdot a^{n-1}$ 。定数 $c$ はそのまま、 $x^n$ の微分に掛ける。

例（べき乗）

f(x)=x^3

のとき

x=2

での微分係数

f^{\prime} (2)

を求めなさい。

解答

f^{\prime}(x)=3x^2

なので

f^{\prime} (2) =3 \times 2^2 = 12

。→ 答 12

例（一次式）

f(x)=3x+1

のとき

x=5

での微分係数

f^{\prime} (5)

を求めなさい。

解答

一次式の導関数は傾きに等しいので

f^{\prime}(x)=3

。

a

に無関係に

f^{\prime} (5) =3

。→ 答 3

例（二次式）

f(x)=x^2+2x+1

のとき

x=3

での微分係数

f^{\prime} (3)

を求めなさい。

解答

f^{\prime}(x)=2x+2

なので

f^{\prime} (3) =2 \times 3 + 2 = 8

。→ 答 8

例（定数倍・べき乗）

f(x)=2x^4

のとき

x=1

での微分係数

f^{\prime} (1)

を求めなさい。

解答

f^{\prime}(x)=2 \times 4 \times x^3 = 8x^3

なので

f^{\prime} (1) =8 \times 1 = 8

。→ 答 8

微分と導関数とは何か

x

がごくわずかに変わるとき、出力

y

がどれだけ敏感に反応するかを数で教えてくれます。

数学では、この傾きは「ごく近い2点間の平均の傾き」を求めたあと、2点の間隔を 0 に近づける極限（Limit）をとって得られます。式では

f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

です。（分母の

h

は2点間の距離、分子はその変化に対する

f

の変化量です。）この過程で得られた値を微分係数といい、

f^{\prime}(a)

と書きます。この値が大きいと傾きが急で、0 なら平らな状態を意味します。

導関数は、関数

f(x)

のすべての点に対して、その点での微分係数（傾き）を対応させた新しい関数です。つまり、傾きをいちいち計算しなくても、導関数の式に

x

を代入すればその位置の傾きがすぐ分かる「傾き生成器」です。この導関数を求める過程を「微分する」といいます。

区分 $以下$
説明 $よく使う微分公式です。$

区分 $'$
説明 $微分（導関数）を表します。$

区分	説明
以下	よく使う微分公式です。
$'$	微分（導関数）を表します。

公式 $定数$
説明 $微分すると 0$

公式 $x^n$
説明 $n$

公式 $e^x$
説明 $e^x$

公式 $a^x$
説明 $a^x \ln a$

公式 $\ln x$
説明 $1/x$

公式 $対数（底 a）$
説明 $1/(x \ln a)$

公式 $sin$
説明 $微分すると cos$

公式 $cos$
説明 $-\sin$

公式 $tan$
説明 $1/\cos^2$

公式 $和・差$
説明 $それぞれ微分して足すか引く$

公式 $定数倍$
説明 $定数はそのまま、中だけ微分$

公式 $積の微分$
説明 $(1つ目微分)\times2つ目 + 1つ目\times(2つ目微分)$

公式 $商の微分$
説明 $(上微分\times下 - 上\times下微分) / 下の2乗$

公式 $直感（積）$
説明 $「1つ目を微分\times2つ目」＋「1つ目\times2つ目を微分」。極限で分けると二つの変化が足されて2項になります。$

公式 $直感（商）$
説明 $商を「上\times(1/下)」と見て積の微分を使う。(1/下)の微分を代入して整理すると上の公式になります。$

公式	説明
定数	微分すると 0
べき乗 $x^n$	前に $n$ を出し、指数は $n-1$
自然指数 $e^x$	微分してもそのまま $e^x$
一般の指数 $a^x$	$a^x \ln a$
自然対数 $\ln x$	$1/x$
対数（底 a）	$1/(x \ln a)$
sin	微分すると cos
cos	微分すると $-\sin$
tan	微分すると $1/\cos^2$
和・差	それぞれ微分して足すか引く
定数倍	定数はそのまま、中だけ微分
積の微分	(1つ目微分)×2つ目 + 1つ目×(2つ目微分)
商の微分	(上微分×下 − 上×下微分) / 下の2乗
直感（積）	「1つ目を微分×2つ目」＋「1つ目×2つ目を微分」。極限で分けると二つの変化が足されて2項になります。
直感（商）	商を「上×(1/下)」と見て積の微分を使う。(1/下)の微分を代入して整理すると上の公式になります。

公式 $定数$
数値例 $(5)'=0、(-3)'=0$
解き方 $微分すると 0$

公式 $x^n$
数値例 $(x^3)'=3x^2$
解き方 $n-1$

公式 $e^x$
数値例 $x=0$
解き方 $微分してもそのまま$

公式 $a^x$
数値例 $(2^x)'=2^x \ln 2$
解き方 $a^x$

公式 $\ln x$
数値例 $x=5$
解き方 $1/x$

公式 $sin$
数値例 $x=0$
解き方 $sin \to cos$

公式 $cos$
数値例 $x=0$
解き方 $-\sin$

公式 $和$
数値例 $(x^2+x)'=2x+1$
解き方 $項ごとに微分して足す$

公式 $定数倍$
数値例 $(5x^2)'=10x$
解き方 $x^2$

公式 $積$
数値例 $(x\cdot e^x)'=e^x(1+x)$
解き方 $(1つ目微分)\times2つ目 + 1つ目\times(2つ目微分)$

公式 $商$
数値例 $x/(x^2+1)$
解き方 $(上微分\times下-上\times下微分)/下の2乗に代入$

公式	数値例	解き方
定数	(5)'=0、(-3)'=0	微分すると 0
$x^n$	$(x^3)'=3x^2$ 、 $x=2$ で 12	指数を前に、指数は $n-1$
$e^x$	$x=0$ で 1、 $x=1$ で $e$	微分してもそのまま
$a^x$	$(2^x)'=2^x \ln 2$	$a^x$ に $\ln a$ をかける
$\ln x$	$x=5$ で $1/5$	微分すると $1/x$
sin	$x=0$ で 1	sin → cos
cos	$x=0$ で 0	cos → $-\sin$
和	$(x^2+x)'=2x+1$	項ごとに微分して足す
定数倍	$(5x^2)'=10x$	定数そのまま、 $x^2$ だけ微分
積	$(x\cdot e^x)'=e^x(1+x)$	(1つ目微分)×2つ目 + 1つ目×(2つ目微分)
商	$x/(x^2+1)$ → $x=1$ で 0	(上微分×下−上×下微分)/下の2乗に代入

導関数を求めるには、どの公式が使えるか（べき乗、指数、対数、三角、積・商・連鎖）を見て、公式通りに書き、整理します。

例題と解答を表にまとめました。

問題 $f(x)=x^3-2x$
解答 $f^{\prime}(x)=3x^2-2$

問題 $g(x)=e^x \ln x$
解答 $e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

問題 $h(x)=\frac{\sin x}{x}$
解答 $\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$

問題	解答
例1. $f(x)=x^3-2x$ の導関数	べき・和: $f^{\prime}(x)=3x^2-2$
例2. $g(x)=e^x \ln x$ の導関数	積の微分: $e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$
例3. $h(x)=\frac{\sin x}{x}$ の導関数	商の微分: $\frac{\cos x \cdot x - \sin x}{x^2}$

問題タイプ別の解法

タイプ $べき乗$
式・公式 $f(x)=x^n$
$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方 $f^{\prime}(a) = n \cdot a^{n-1}$

タイプ $一次式$
式・公式 $f(x)=mx+b$
$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方 $f^{\prime}(a) = m$

タイプ $二次式$
式・公式 $f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0$
$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方 $f^{\prime}(a) = 2 a_2 \cdot a + a_1$

タイプ $定数倍・べき乗$
式・公式 $f(x)=c \cdot x^n$
$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方 $f^{\prime}(a) = c \cdot n \cdot a^{n-1}$

タイプ	式・公式	$x=a$ で $f^{\prime}(a)$ の求め方
べき乗	$f(x)=x^n$	$f^{\prime}(a) = n \cdot a^{n-1}$ 。指数を前に出し、指数から1引いたものに $a$ を代入。
一次式	$f(x)=mx+b$	$f^{\prime}(a) = m$ 。傾きが導関数なので $a$ に無関係に $m$ が答え。
二次式	$f(x)=a_2 x^2 + a_1 x + a_0$	$f^{\prime}(a) = 2 a_2 \cdot a + a_1$ 。 $x^2$ の係数の2倍× $a$ ＋一次の係数。
定数倍・べき乗	$f(x)=c \cdot x^n$	$f^{\prime}(a) = c \cdot n \cdot a^{n-1}$ 。定数 $c$ はそのまま、 $x^n$ の微分に掛ける。

例（べき乗）

f(x)=x^3

のとき

x=2

での微分係数

f^{\prime} (2)

を求めなさい。

解答

f^{\prime}(x)=3x^2

なので

f^{\prime} (2) =3 \times 2^2 = 12

。→ 答 12

例（一次式）

f(x)=3x+1

のとき

x=5

での微分係数

f^{\prime} (5)

を求めなさい。

解答

一次式の導関数は傾きに等しいので

f^{\prime}(x)=3

。

a

に無関係に

f^{\prime} (5) =3

。→ 答 3

例（二次式）

f(x)=x^2+2x+1

のとき

x=3

での微分係数

f^{\prime} (3)

を求めなさい。

解答

f^{\prime}(x)=2x+2

なので

f^{\prime} (3) =2 \times 3 + 2 = 8

。→ 答 8

例（定数倍・べき乗）

f(x)=2x^4

のとき

x=1

での微分係数

f^{\prime} (1)

を求めなさい。

解答

f^{\prime}(x)=2 \times 4 \times x^3 = 8x^3

なので

f^{\prime} (1) =8 \times 1 = 8

。→ 答 8

微分と導関数：瞬間の傾き、学習の羅針盤

チャプター別 数学図

微分と導関数とは何か

微分と導関数：瞬間の傾き、学習の羅針盤

チャプター別 数学図

微分と導関数とは何か

チャプター別数学図

チャプター別数学図