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Chapter 05

連続性：途切れない曲線、微分への扉を開く

ある点で連続とは、そこでの極限が存在し、その値が関数値と一致するときです。微分可能性や、ディープラーニングの活性化・損失関数の理解の基礎になります。

チャプター別 数学図

チャプターを選ぶと、下の図がそのチャプターの内容に切り替わります。基礎数学の流れを一覧で確認できます。

左: 連続 — 曲線が点 (a,f(a))(a, f(a))(a,f(a)) で切れずにつながっています。右: 不連続 — その点で穴や飛びがあります。

連続

12324(a, f(a))y=x²

lim = f(a)

不連続

12324穴

f(a) なし または lim ≠ f(a)

連続とは lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)limx→a​f(x)=f(a) のとき。グラフではその点で線が切れていません。

見る順序

  • 左グラフ: y=x2y = x^2y=x2 は x=2x = 2x=2 で連続（曲線が (2, 4) を通り切れ目なし）。
  • 右グラフ: x=ax = ax=a で関数値が無い、または極限と異なると不連続（穴または飛び）。

連続性とは何か

連続をいちばん直感的に言うと、「鉛筆を離さず一筆で描けるグラフ」 です。ただし数学的には厳密な条件が必要です。xxx が aaa に限りなく近づくときの行き先（極限値）と、実際に aaa に着いたときの位置（関数値）が一致していなければなりません。記号では lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)limx→a​f(x)=f(a) です。
連続の3段チェックリスト：関数がある点 x=ax=ax=a で連続であるためには、
(1) 関数値が存在：f(a)f(a)f(a) が定義されている（穴が開いていない）、
(2) 極限が存在：lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)limx→a​f(x) が存在する。左極限（xxx が aaa より小さい側から近づくとき）と右極限（aaa より大きい側から近づくとき）が一致する必要があります。階段のように片側が 0、もう片側が 1 なら極限がなく不連続です。
(3) 一致：極限値と関数値が等しい（道はあるが、橋がとんでもない場所にかかっていてはならない）。
不連続だと予測ができません。昨日まで100円だった株が今日いきなり0円になる（ジャンプ）とか、データが空の穴になっている場合です。数学では連続性は「入力 xxx がほんの少し(δ\deltaδ)変われば、出力 f(x)f(x)f(x) もほんの少し(ε\varepsilonε)しか変わらない」という 安定性 を保証する約束です。
微分の前提条件です。微分は曲線の接線の傾きを求めるものなので、グラフがぷつりと切れていると傾きを測れません。つまり「連続」でなければ「微分可能」になりえません。（注意：連続だからといって微分可能とは限りません。とがった点は連続だが微分不可能です。）
頑健性（バタフライ効果の防止）：AI モデルが連続でなければ、入力に少しノイズが混じっただけで結果がおかしくなります。自動運転車が標識の小さな傷で「止まれ」を「加速」と認識したら、それはモデルが不連続に振る舞ったということになり、非常に危険です。
活性化関数設計の要です。ReLU、Sigmoid、Tanh などはすべて連続関数なので、データをネットワークの奥まで流しても情報が途切れず伝わります。損失関数が滑らかな連続な曲面でなければ、ボール（パラメータ）を転がして一番低いところ（最適解）を探す 勾配降下法 は使えません。
連続かどうかを見るには、その点で lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)limx→a​f(x) が存在するか、f(a)f(a)f(a) が定義されているか、両者が等しいかの三つを確認しましょう。
チェックリスト：
① f(a)f(a)f(a) 存在
② lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)limx→a​f(x) 存在
③ 極限 =f(a)= f(a)=f(a)。一つでも欠ければその点で不連続です。
例題と解答を表にまとめました。
  • 問題例 1. f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 は x=2x = 2x=2 で連続か
  • 解答解答: f(2)=4f(2) = 4f(2)=4、lim⁡x→2x2=4\lim_{x \to 2} x^2 = 4limx→2​x2=4 で一致するので連続。
  • 問題例 2. g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x}g(x)=x1​ は x=0x = 0x=0 で連続か
  • 解答解答: g(0)g(0)g(0) は定義されていない → 不連続。
  • 問題例 3. h(x)=2x+1h(x) = 2x + 1h(x)=2x+1 は x=−1x = -1x=−1 で連続か
  • 解答解答: h(−1)=−1h(-1) = -1h(−1)=−1、lim⁡x→−1(2x+1)=−1\lim_{x \to -1} (2x+1) = -1limx→−1​(2x+1)=−1 で一致するので連続。
問題解答
例 1. f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 は x=2x = 2x=2 で連続か解答: f(2)=4f(2) = 4f(2)=4、lim⁡x→2x2=4\lim_{x \to 2} x^2 = 4limx→2​x2=4 で一致するので連続。
例 2. g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x}g(x)=x1​ は x=0x = 0x=0 で連続か解答: g(0)g(0)g(0) は定義されていない → 不連続。
例 3. h(x)=2x+1h(x) = 2x + 1h(x)=2x+1 は x=−1x = -1x=−1 で連続か解答: h(−1)=−1h(-1) = -1h(−1)=−1、lim⁡x→−1(2x+1)=−1\lim_{x \to -1} (2x+1) = -1limx→−1​(2x+1)=−1 で一致するので連続。
問題タイプ別の解法
  • タイプ多項式の極限
  • 説明連続なので極限値＝関数値
  • 答えの求め方その点 x=ax=ax=a を代入。
  • タイプ一次式の極限
  • 説明同様に関数値と一致
  • 答えの求め方x=ax=ax=a を代入。
  • タイプ連続か (1/0)
  • 説明その点で連続なら 1、不連続なら 0
  • 答えの求め方
    ① f(a)f(a)f(a) 存在
    ② 極限存在
    ③ 極限＝f(a)f(a)f(a) の3つを確認。
  • タイプ穴での極限
  • 説明穴がある点での極限値
  • 答えの求め方その点を除いた式で xxx をその点に近づける。（代入できれば代入）
タイプ説明答えの求め方
多項式の極限連続なので極限値＝関数値その点 x=ax=ax=a を代入。
一次式の極限同様に関数値と一致x=ax=ax=a を代入。
連続か (1/0)その点で連続なら 1、不連続なら 0
① f(a)f(a)f(a) 存在
② 極限存在
③ 極限＝f(a)f(a)f(a) の3つを確認。
穴での極限穴がある点での極限値その点を除いた式で xxx をその点に近づける。（代入できれば代入）
例（多項式・極限）
f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 が x=2x=2x=2 で連続か判定しなさい。
解答
f(2)=4f (2) =4f(2)=4、lim⁡x→2x2=4\lim_{x \to 2} x^2=4limx→2​x2=4。一致するので連続。→ 連続
(1)
例（不連続）
g(x)=1xg(x)=\frac{1}{x}g(x)=x1​ が x=0x=0x=0 で連続か判定しなさい。
解答
g(0)g(0)g(0) は定義されていない（分母0）。→ 不連続(0)
例（一次式・連続）
h(x)=2x+1h(x)=2x+1h(x)=2x+1 が x=−1x=-1x=−1 で連続か判定しなさい。
解答
h(−1)=−1h(-1)=-1h(−1)=−1、lim⁡x→−1(2x+1)=−1\lim_{x \to -1}(2x+1)=-1limx→−1​(2x+1)=−1。一致するので連続。→ 連続
(1)